Formulaire Math
Compte Rendu : Formulaire Math. Rechercher de 53 000+ Dissertation Gratuites et Mémoires2: Distribution (ou masse) de Dirac. = ϕ(0) = ϕ(a) notée aussi δ(x-a)
Lf (p) p Lf (p) - f(0+) p Lf (p) 1 Lf (p) p
δa est à support ponctuel = point a
Í=∑ δ
n
Peigne de Dirac (x) = ∑ δ(x-n) n noté aussi
Í
Quelques propriétes de δ δ (-x) = δ (x) f(x) δ(x-a) = f(a) δ(x-a) δ a x-x0 = 1 δx 0 a 1 δ g x =∑ δ x-xj g'( xj) j
Exemple 3: vp 1 x
S
n
g = fonction , xj zéro de g(x), g'(xj)≠0
Pf 12 ∈ ' x ϕ(x) 1 , ϕ = lim dx vp x ε→0 x ≥ ε x 2 ϕ(0) ϕ(x) Pf 12 , ϕ = lim dx ε x ε→0 x ≥ ε x2
Transformées de Laplace remarquables δ 1 1 Y p 1 –at Ye p+a p Ycos(ωt) p2 + ω 2
Maths pour la physique Ecole des Mines Nancy
PRODUIT DE CONVOLUTION Des Fonctions
TRANSFORMEE DE FOURIER
DISTRIBUTIONS PERIODIQUES
Des fonctions: définition
h (x) =f∗g =
-∞
+∞ +∞
-∞
f(y) g(x-y) dy
Si l'intégrale existe. Assuré si f(x) ∈L1, L2
f(x)=∑ cn e 2iπ n a avec cn = 1 a
n
Ff (u) =
f(x) e – 2iπ u x dx
x
s s+a
Fonctions périodiques f(x) fonction a-périodique, f ∈ L1 loc
f(x) e–2iπ n a dx
x
(Si l'intégrale existe)
Formule de Plancherel
Conditions suffisantes d'existence: f et g ∈L1 ⇒ h ∈L1 (algèbre de convolution)
ou: L1* L2, L1* L2, L1* Lloc, E+* E+, L1 * K loc
∞
f(x) g(x) dx =
(si les intégrales existent)
Ff(u) Fg(u) du
S S
Distributions périodiques T est a-périodique si: < T(x), ϕ(x)> = < T(x), ϕ(x+a)>
Des distributions : définition Des distributions tempérées Transformée de Fourier seulement si T∈ ' < T , ϕ> = < T , ϕ > Si en outre T∈ ' ⊂ '
< S*T , ϕ > = < S(x) , < T(y),ϕ (x+y> >
F
Conditions suffisantes d'existence: Inverse
E S
F
T ∈ ' et ∃ S à support borné tel que: x T = S * ∑ δ ( x-na) = S * 1 a a n
Í
FT (u) = < T(x), e -2iπ u x >
Généralisation des séries de Fourier:
x T = ∑ cn e 2iπ n a avec cn = 1 a n
FS n a
Transformée de Fourier
- L'une des distributions est à support borné -Les deux sont bornées du même coté.
autres possibilités à examiner cas par cas
F =F
-1
-1
F
(f) =
v
F( f )
Propriétés ——>
FT(u) = ∑ c
n
n
. δ (u- n ) a
Relation fondamentale
Propriétés S*T=T*S S * (T * U) = (S * T) * U T (x) T' T(x-a) T(ax)
Dérivation
FT (u) 2iπ u FT(u) e– 2iπ u a FT(u) 1 FT( u ) a a
F Í x =Í u =∑ e
n
-2 i π n u
e 2iπ u0 x T(x)
S*T S.T -2iπ xT(x)
ou encore:
(S * T )' = S'* T = S * T'
1 F ∑ δ (x-na) = a ∑ δ(u- n ) =∑ e a
n n n
–2 i π n a u
Produits remarquables
FT (u-u0) FS . FT FS * FT (FT)'
1*Tf =
-∞
-∞
f(x) dx
QUELQUES TRANSFORMEES DE FOURIER
Ga(x)= 1 exp – x2 a 2π 2 a2
δ*T=T δ' * T = T' δ (x-a) * T(x)= T (x-a)
1 G1 2π a u a 2π
Fonction de corrélation
ϕ (x) =f ✸ g =
+∞
Í
Í
Rect (x) =
0 si x > 1/2 1 si x < 1/2
sinc (u) =
sin (πu) πu
-∞
f(y) g(x+y) dy
e- a x Ye-x
=
...