Interest Rate Futures

urs coté est un indice égal à 100 moins le taux fixe en pourcent (96,625 = 100 – 3,375).

Cette méthode de cotation de l’IRF est destinée à aligner le mode de fonctionnement de ce contrat sur celui des autres futures : l’acheteur du contrat réalise un gain si le cours augmente, il réalise une perte si le cours diminue. Le calcul du gain ou de la perte est simple : il est obtenu en multipliant la variation du cours (exprimée en points de base) par le tick qui donne la valeur de 1 point de base. La valeur du tick dépend de la taille du contrat mais pour tous les contrats traités, la règle de détermination du tick est identique . Le tick (valeur d'une variation de 1 point de base[1]) est égal à 25 unités de devise par million d’unités du contrat. Ainsi, le tick sur un IRF en € de 1 million € est de 25 €. Cette régle de détermination résulte du calcul suivant :

Tick = M ( (0,01/100) ( 3/12

Le premier terme (M) est la taille du contrat, le second reflète le fait que le tick correspond à 1 point de base (1% de 1%), le troisième terme tient compte de la longueur de la période d’intérêt (3 mois ou 3/12 d’année).

Pour les IRF, le contrat a été conçu de manière à ce que le cours augmente lorsque les taux d’intérêt diminuent et qu’il diminue lorsque les taux d’intérêts augmentent .Un IRF doit donc permettre à une emprunteur de couvrir son risque d’intérêt en vendant un IRF (un hausse du taux rend l’emprunt plus coûteux mais lui procure un gain sur le futures puisque le cours du futures diminue et qu’il est court sur le contrat) et à un épargnant de couvrir son risque de taux en achetant un IRF (un baisse de taux rend le placement moins rémunérateur mais lui procure un gain sur le futures puisque le cours du futures augmente et qu’il est long sur le contrat).

Le cours du futures est exprimé comme étant égal à la différence entre 100 et un taux d’intérêt sous-jacent. Notons que ce cours n’est pas un prix mais plutôt un indice. Si nous notons Ft le cours du futures à la date, le taux d’intérêt sous-jacent Rt est :

Rt = (100 - Ft)/100

Ainsi, un cours de 96,625 correspond à un taux d’intérêt sous-jacent de 3,375%.

A l’échéance du contrat, le cours est égal à la différence entre 100 et un taux d’intérêt de référence exprimé en % (l'euribor 3 mois pour le contrat Liffe) :

FT = 1001 - rT ( 100

C’est cette méthode de fixation du cours d’un IRF qui le différencie d’autres contrats comme par exemple le futures sur Treasury Bills dont les caractéristiques sont similaires. Pour un IRF, la convergence se fait sur base d’un taux alors que pour le futures sur TB, la convergence est basée sur le prix spot à l’échéance. Nous reviendrons plus loin sur ce point.

Si l'euribor 3 mois à l’échéance est de 4,000%, le cours du futures à l’échéance sera de 96,000.

Le résultat à l’échéance sur une position longue est égal à la variation du cours (FT – Ft) multiplié par le tick. En remplaçant FT, Ft, et le tick par les expressions ci-dessus, on obtient :

Résultat en T = Tick ( (FT – Ft)

= M ( (Rt – rT) ( 3/12

Cette expression nous indique que l’acheteur du futures recevra à l’échéance du contrat un montant égal à l’intérêt fixe sous-jacent (Rt) calculé sur une période de 3 mois pour le montant nominal du contrat. Il paiera en contrepartie un montant égal à l’intérêt de référence à l’échéance (rT) sur une période de 3 mois pour le montant du contrat.

Par exemple, en achetant un contrat Liffe au cours de 96,625 on est assuré de recevoir 3,375% pendant 3 mois sur 1 millions € et l’on paiera en contrepartie l'euribor 3 mois pendant 3 mois sur le même montant. Si l'euribor 3 mois à l’échéance est de 4,00%, le flux monétaire pour l’acheteur du futures sera :

1.000.000 ( (3,375% - 4,00%) ( 3/12 = - 1.562.50 €

Ce résultat peut également être calculé en multipliant la variation, en points de base, du cours du futures par le tick.

(-62,50) ( 25 € = -1.562.50 €

Après cette description du fonctionnement du contrat, abordons la fixation du cours. Est-il possible d’utiliser la logique générale des contrats à termes pour analyser l’IRF ? Plus précisément, peut-on, comme pour les autres contrats, déterminer le cours d’un IRF en utilisant un raisonnement basé sur l’absence d’arbitrage.

La réponse est malheureusement négative. Souvenons nous qu’un IRF est similaire à un FRA : dans les deux cas, le flux monétaire à l’échéance porte sur une différence d’intérêts. Les signes sont différents (dans un FRA, l’acheteur paie le fixe alors que dans un IRF l’acheteur reçoit le fixe) mais cela ne pose pas de problème pour l’évaluation. Par contre, et ce point est fondamental, les montant des paiements à l’échéance sont différents. Dans un FRA, le paiement des intérêts à la date de règlement porte sur la différence d’intérêt actualisée au taux prévalent à cette date. Pour un IRF, par contre, les intérêts payés à l’échéance ne sont pas actualisés.

Formellement, en désignant par CT le flux monétaire à l’échéance :

CT,IRF = M ( (Rt – rT) ( 3/12

[pic]

On obtient donc la relation suivante entre les flux monétaires des deux contrats :

CT,IRF = - CT,fra ( a

où a = 1/(1+rT ( 3/12)

Pour toute évaluation du contrat avant l’échéance, le taux d’actualisation rT qui prévaudra à l’échéance est inconnu et la variable a est donc une variable aléatoire.

Ce résultat a une conséquence pratique importante : il n’est pas possible d’aboutir de manière précise à l’évaluation d’un IRF sur base d’un raisonnement d’absence d’arbitrage. Ce type de raisonnement donne bien l’évaluation d’un FRA mais ne marche pas pour l’IRF.

Que faire ? En toute rigueur, il faudrait partir d’un modèle d’évaluation basé sur la dynamique des taux d’intérêt (voir Sundaresan, S. « Futures Prices on Yields, Forward Prices, and Implied Forward Prices from Term Structure » Journal of Financial and Quantitative Analysis 26, 3 (September 1991) pp.409-424 ou Rebonato, R. Interest-Rate Option Models 2d edition Wiley 1998).

Je vois deux solutions approximatives qui devraient fonctionner sans donner trop d’erreurs .

La première solution part du constat que les flux monétaires sont égaux à une variable aléatoire près (a) qui est légèrement inférieure à l’unité (par exemple, pour rT=4%, a=0,9901), la valeur d’un FRA doit être légèrement inférieure à celle d’un IRF (normal,