Les Espace Vectorieles Normée

1) . ∞ ).

a `

1

.

c) Montrer que P est une partie dense de ( , · d) Montrer que P est une partie dense de (C0 , · e) P est-elle une partie dense de ( [ I ] [ S ] 2) Soit Φ : ( 1 ) −→

∞ ∞

, ·

∞) ? n∈N

l’application d´finie par ∀ x∗ ∈ ( 1 ) , Φ(x∗ ) = x∗ (δn ) e

·

a) V´rifier que l’application Φ est bien d´finie, c’est ` dire que, pour tout x∗ ∈ ( 1 ) , e e a ∗ ∞ Φ(x ) ∈ .

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` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace

p

. Exemples de parties compactes de

2

´ Enonc´ e

b) Montrer que Φ est une application lin´aire continue. Quelle est sa norme ? e c) Montrer que Φ est une isom´trie, c’est ` dire une bijection telle que ∀ x∗ ∈ ( 1 ) , e a ∗ ∗ Φ(x ) ∞ = | x | . d) Que d´duisez vous de I.3 et II.2.c en ce qui concerne l’espace norm´ e e e) Construire une isom´trie Ψ : C0 −→ e

1 ∞

?

1

. Qu’en d´duisez vous pour l’espace norm´ e e

?

Partie III 1 1 p et q sont des r´els de ]1 , +∞[ tels que + = 1 . Pour tout r´el t positif on pose tp = exp(p ln t) e e p q si t > 0 et t0 = 1 . On note p l’ensemble des suites x = (xn )n∈N de CN telles que la s´rie |xn |p e

+∞

soit convergente. On pose alors x

p

=

n=0

|xn |

p

1 p

. up v q + · p q = 1 , alors z = (xn yn )n∈N ∈ 1 et

[ I ] [ S ] 1) a) D´duire de la convexit´ de l’exponentielle r´elle que pour tout (u , v) ∈ R2 , uv e e e + b) En d´duire que si (x , y) ∈ e z 1 1 . En conclure que

p

×

q

v´rifie x e

+∞

p

= y

q

∀ (x , y) ∈

p

×

q

,

n=0

|xn ||yn |

x

p

y

q

.

Cette in´galit´ est dite in´galit´ de H¨lder. Pr´ciser le cas d’´galit´. e e e e o e e e c) V´rifier que |xn + yn |p |xn + yn | q |xn | + |xn + yn | q |yn | et d´duire de l’in´galit´ de H¨lder e e e e o p 2 p que si (x , y) ∈ ( ) , alors x + y ∈ et

+∞ +∞

p p

|xn + yn |p

n=0

x

p+ y

p n=0 ∞

|xn + yn |p , et que ·

1 q

.

p

d) En conclure que

p p

p

est un sous-espace vectoriel de

r p

p

est une norme sur

.

[ I ] [ S ] 2) On donne ici deux r´els tels que 1 < p < r . e a) Montrer que b) Montrer que ⊂ . Comparer sur la norme

r

·

p

avec la restriction de

·

r

a `

r ).

p

.

et son compl´mentaire dans e

sont des parties denses de ( r , ·

n

[ I ] [ S ] 3) a) Soit x∗ ∈ ( p ) . On pose Φp (x∗ ) = x∗ (δn )

n∈N

· On note θn un argument de x∗ (δn ) et on |x∗ (δk )| p e−iθk δk pour chaque n ∈ N .

k=0 q

q

consid`re les ´l´ments de P d´finis par Xn = e ee e

En calculant |x∗ (Xn )| et en le majorant ` l’aide de | x∗ |, montrer que Φp (x∗ ) ∈ a ∗ ∗ que Φp (x ) q | x | . b) Montrer que Φp est une isom´trie de ( p ) sur lq . e c) Qu’en d´duit-on pour le bidual topologique (lp ) ? e

et

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p

. Exemples de parties compactes de

2

´ Enonc´ e

d) Quelle conclusion apporte I.3 pour tout espace Partie IV [ I ] [ S ] 1) Montrer que la boule ferm´e unit´ B de e e [ I ] [ S ] 2) Soit Q le sous-ensemble de [ I ] [ S ] 3) Soit u ∈ si u ∈ 2 .

∞ 2 ∞

p

quand p ∈ [1, +∞] ?

n’est pas compacte. 1 }. Montrer que Q n’est n et que Q est compact.

d´fini par Q = {x ∈ l2 | |xn | e

2

contenu dans aucun sous-espace de dimension finie de et Q(u) = {x ∈

2

| |xn |

|un |}. Montrer que Q(u) est compact si et seulement

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p

. Exemples de parties compactes de

2

Indications

Indications ou r´sultats e

Partie I [ Q ] 1) Toute application lin´aire continue est born´e sur la boule unit´. e e e [ Q ] 2) a) V´rifier que la suite x∗ (x) e n c) Montrer que la suite x∗ (x) n

n∈N

est de Cauchy. converge uniform´ment par rapport ` x ∈ B vers x∗ (x) . e a

b) Il suffit de prouver que x∗ est lin´aire et born´e sur la boule unit´. e e e

n∈N

[ Q ] 3) Compl´tude du dual topologique d’un espace norm´. e e Partie II [ Q ] 1) a) Appliquer les d´finitions. e b) V´rifier que · ∞ e · 1 et utiliser les suites canoniques δk pour montrer que n’est pas born´e sur la sph`re unit´ de · ∞ . e e e

n

·

1

c) Montrer que si x