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Techniques D'Implantation.Pdf

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Catégorie: Art

Soumis par: Russell 15 décembre 2011

Mots: 18364 | Pages: 74

...

un arc de cercle de même rayon centré en E (fig. 9.1. à droite). Le contrôle est effectué en vérifiant que BP2 = BC2 + CP2.



Triangle rectangle

Les trois côtés a, b et c d’un triangle rectangle vérifient a2 = b2 + c2 (a étant l’hypoténuse). Cette relation est aussi vérifiée par les nombres suivants : 52 = 42 + 32. Donc, si l’on positionne un point D sur AB à 3 m de C, un point P de la perpendiculaire sera distant de 4 m de C et de 5 m de D. Cette méthode est aussi appelée « méthode du 3-4-5 ». Elle s’applique aussi pour des longueurs quelconques mais nécessite alors l’emploi de la calculatrice. D’autrea suites de chiffres possibles sont 102 = 82 + 62, 152 = 122 + 92, etc. (multiples de 3, 4 et 5).

Fig. 9.2. : Tracer une perpendiculaire au ruban

Pratiquement, si l’on dispose d’un ruban de 30 m, un aide maintient l’origine du ruban en D, un autre aide maintient l’extrémité du ruban en C et l’opérateur maintient ensemble les graduations 5 m et 26 m du ruban (fig. 9.2. à gauche). Si l’on ne dispose que d’un seul aide, on peut marquer au sol un arc de cercle de centre D et de 5 m de rayon et prendre l’intersection avec un arc de cercle de 4 m de rayon centré en C (fig. 9.2. à droite).



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On contrôlera que AP2 = AC2 + CP2. Remarque Ces méthodes permettent aussi d’abaisser le pied de la perpendiculaire à AB passant par un point C donné; il suffit de permuter les rôles des points C et P (fig. 9.3.). Ces méthodes ne sont valables qu’en terrain régulier et à peu près horizontal.

Fig. 9.3. : Abaisser une perpendiculaire





Avec une équerre optique

L’équerre optique est décrite au chapitre 8, paragraphe 2.3.5.

Mener une perpendiculaire depuis un point C de l’alignement AB

On place un jalon en A et en B (fig. 9.4.). L’opérateur se place à la verticale du point C avec l’équerre optique et aligne visuellement les jalons de A et B dans l’équerre. Ensuite, il guide le déplacement d’un troisième jalon tenu par un aide jusqu’à ce que l’image de ce jalon soit alignée avec les deux premiers. L’aide pose alors son jalon et obtient un point P de la perpendiculaire.

Fig. 9.4. : Équerre optique



Abaisser une perpendiculaire depuis un point C extérieur à AB

On dispose trois jalons sur A, B et C (fig. 9.5.). L’opérateur se positionne au moyen de l’équerre sur l’alignement AB en alignant les images des deux jalons de A et B puis se déplace le long de AB jusqu’à aligner le troisième jalon avec les deux premiers. Lorsque l’alignement est réalisé, il pose la canne à plomber et marque le point P, pied de la perpendiculaire à AB passant par C.

Fig. 9.5. : Équerre optique

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L’équerre optique peut s’utiliser en terrain accidenté et donne des résultats d’autant plus précis que les points sont plus éloignés.



Avec un théodolite ou un niveau équipé d’un cercle horizontal

Si le point donné C est sur l’alignement AB (fig. 9.4.), il suffit de stationner C, de viser A (ou B) et de pivoter l’appareil de 100 gon (ou 300 gon). Si le point C est extérieur à l’alignement AB (fig. 9.6.), une possibilité consiste à construire une perpendiculaire d’essai en stationnant un point M de l’alignement AB, choisi à vue proche de la perpendiculaire cherchée. L’opérateur mesure la distance d séparant la perpendiculaire d’essai et le point C et construit le point P sur AB en se décalant de la même distance d. Il obtient une précision acceptable en répétant l’opération deux ou trois fois.

Fig. 9.6. : Implantation au théodolite

Une deuxième possibilité est de stationner en B (ou en A) et de mesurer l’angle α = CBA. Il faut ensuite stationner sur C et implanter la perpendiculaire à AB en ouvrant d’un angle de 100 – α depuis B. Il reste à construire l’intersection entre l’alignement AB et la perpendiculaire issue de C (voir § 2.3). On contrôlera que AC2 = AP2 + PC2. Une troisième possibilité est de placer un point E au milieu de AB (fig. 9.7.) puis de stationner en C et mesurer les angles α1 et α2. On en déduit l’angle α à ouvrir sur le théodolite pour obtenir la direction perpendiculaire à AB en résolvant l’équation suivante : cos ( α 1 + α 2 + α ) sin α 1 ----------------------------------------- = ------------cos α sin α 2 L’inconvénient de cette méthode est que la résolution de cette équation ne peut s’effectuer que par approximations successives. La démonstration et la résolution de cette équation sont présentées au chapitre 5 du tome 2, paragraphe 11.

Fig. 9.7. : Implantation au théodolite



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Tracer une parallèle à un alignement existant

Étant donné un alignement AB, on cherche à construire une parallèle à AB passant par un point C ou à une distance d donnée de AB : le point C est alors positionné sur une perpendiculaire située à une distance d de l’alignement AB.



Tracé de deux perpendiculaires

L’opérateur construit au moyen d’une des méthodes traitées au paragraphe 1.1 le point P, pied de la perpendiculaire à AB passant par C, puis la perpendiculaire à CP passant par C : cette dernière est parallèle à AB (fig. 9.8. à gauche). Si l’on peut mesurer la longueur CP, on peut aussi reporter cette longueur sur une perpendiculaire à AB passant par B (ou A) : on obtient le point C′, et la droite CC′ est parallèle à AB (fig. 9.8. à droite). On contrôlera que PC′ = CB.

Fig. 9.8. : Tracé d’une parallèle



Parallélogramme

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. On peut utiliser ce principe et construire le point D au milieu de l’alignement CA (fig. 9.9.). On construit ensuite le point E en prolongeant DB (DB = DE). La droite CE est parallèle à AB puisque ABCE est un parallélogramme. Ceci peut aussi être fait à partir de points quelconques sur l’alignement AB. Le contrôle est effectué en vérifiant que la perpendiculaire à EC passant par A est de longueur d. Une construction équivalente peut être faite en se basant sur les propriétés des triangles semblables.

Fig. 9.9. : Tracé d’une parallèle



Angles alternes-internes

Si l’on dispose d’un théodolite, on peut stationner le point A et mesurer l’angle α = CAB. On stationne ensuite en C et on ouvre de l’angle α à partir de la ligne CA (fig. 9.10.) pour obtenir la direction CC′ parallèle à AB.

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Cette méthode, qui s’applique sur tout type de terrain, est certainement la plus précise. Pour implanter le point C situé à la distance d de AB, l’opérateur peut procéder par rayonnement : il se fixe une valeur arbitraire de l’angle α et en déduit que : dAC = ---------sin α

Fig. 9.10. : Tracé d’une parallèle

Par exemple :

AC = d / 2, pour α = 33,333 gon. AC = d / 2 , pour α = 50 gon.

On contrôlera que la perpendiculaire à CC′ passant par B est de longueur d. Remarque La troisième méthode du paragraphe 1.1.3 est également applicable (avec un angle α cherché diminué de 100 gon).



Alignement sécant à un alignement existant

On cherche à implanter l’alignement CD faisant un angle α avec l’alignement AB (fig. 9.11-1.) et situé à une distance h de A. 1 - Si l’on dispose d’un théodolite et que le point S est accessible, on prolonge AB jusqu’à S en reportant SA = h / sinα, puis on stationne S et on ouvre de l’angle (400 – α) depuis la direction SA vers SA′ (avec un éventuel double retournement).

Fig. 9.11-1. : Implanter un angle donné entre deux alignements

Après avoir construit A′, on contrôlera que AA′ = h.

2 - Si le point S est inaccessible, hors chantier par exemple, on peut stationner le point A et ouvrir de l’angle (300 – α) depuis le point B puis implanter le point A′ à la distance h de A. Ensuite, on stationne en A′ et on ouvre d’un angle de 100 gon depuis A pour obtenir C puis de 300 gon pour obtenir D. On contrôlera que BA′ = ( d + h ⋅ sin α ) + ( h ⋅ cos α ) .

2 2

3 - Si l’on ne dispose que d’un ruban, on peut procéder comme suit : construire la perpendiculaire à AB issue de A et implanter E à la distance AE = h / cosα de A ; mesurer



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la distance AB = d et implanter F sur la perpendiculaire à AB issue de B à la distance BF = AE + d.tanα. On obtient l’alignement EF cherché. On contrôlera que EB = d + ( h / cos α ) et AF =

2 2

d + ( h / cos α + d ⋅ tan α ) .

2 2



Pan coupé régulier

On rencontre cette situation par exemple dans les angles de rue. L’implantation est réalisée à partir de la détermination du point S construit à l’intersection du prolongement des façades. Connaissant AB, on peut calculer SA et SB de deux manières (fig. 9.11-2.) :

q

si l’on connaît l’angle α : AB SA = SB = ------------------------2 sin ( α / 2 )

q

si α est inconnu, on positionne deux points M et N sur SA et SB tels que SM = SN, puis on mesure la distance MN et on en déduit que : AB SA = SB = SM -------MN

Fig. 9.11-2. : Pan coupé régulier



Jalonnement sans obstacles

Le jalonnement est l’opération consistant à positionner un ou plusieurs jalons sur un alignement existant, soit entre les points matérialisant cet alignement, soit en prolongement de l’alignement. On désire implanter un jalon P à 15 m du point A sur l’alignement AB (fig. 9.12.). A et B sont distants de plus de 50 m et l’on ne dispose que d’un ruban de 20 m. On place un jalon sur chacun des deux points A et B ; chaque jalon est réglé verticalement au moyen d’un fil à plomb ; si Fig. 9.12. : Jalonnement l’on ne dispose pas d’un fil à plomb, on peut s’aider des façades de bâtiments voisins pour un réglage visuel ; l’opérateur se place à quelques mètres derrière le jalon A et, en alignant visuellement A et B, il fait placer un jalon par un aide au point C sur AB à moins de 20 m de A. Il ne reste plus qu’à tendre le ruban entre A et C pour implanter P à 15 m de A.

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La même opération peut être effectuée avec une lunette stationnée en A ou en B. L’opérateur doit viser, si possible, les points au sol pour être le plus précis possible. Lors de l’alignement à vue, il doit donc s’accroupir. Il est aussi possible d’utiliser une équerre optique (fig. 9.13.). L’opérateur se place entre A et B, les épaules parallèles à la direction AB. Il se déplace perpendiculairement à la direction AB jusqu’à observer l’alignement des deux jalons en A et B dans l’équerre optique. Il pose alors la canne à plomber de l’équerre au sol et marque le point C.

Fig. 9.13. : Jalonnement à l’équerre optique





Jalonnement avec obstacle

Franchissement d’une butte

Le relief entre A et B fait que l’on ne peut pas voir B depuis A (fig. 9.14.). L’opérateur plante un premier jalon en 1, visible de A et B, puis l’aide plante un jalon en 2, visible de B et situé sur l’alignement A-1. Et ainsi de suite (3, 4, etc.), jusqu’à obtenir un parfait alignement en C et D : cette méthode est appelée procédé Fourrier.

Fig. 9.14. : Jalonnement sans visibilité

Avec un théodolite et pour des alignements de très grande portée, on peut procéder comme suit (fig. 9.15.) :

Fig. 9.15. : Alignement au théodolite

q

q

stationner un théodolite au point 1 situé vers le milieu de l’alignement AB puis mesurer l’angle A1B (α1) ; déplacer ensuite la station de 1 vers 2 et mesurer l’angle A2B (α2) : 1-2 est perpendiculaire à l’alignement AB (à vue ou bien avec une équerre optique) et de longueur



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fixée. On peut ensuite calculer la distance séparant le point 2 du point C situé sur l’alignement : AC = D C –1 ⋅ tan ( α 1 / 2 ) = D C – 2 ⋅ tan ( α 2 / 2 )  tan ( α 1 /2 )  ⇒ D C – 2 = D2 – 1 ------------------------------------------------------tan ( α 2 /2 ) – tan ( α 1 /2 ) DC – 1 = DC – 2 + D2 – 1  On vérifie enfin en station en C que l’angle ACB à pour valeur 200 gon. Suivant la précision cherchée, on recommence ou non la manipulation. Si l’on peut mesurer les distances 1-A et 1-B, on peut calculer l’angle β = 1AB en résolvant le triangle 1AB dont on connaît un angle et les deux côtés adjacents à cet angle (voir tome 2, chap. 5, § 4.3.1). En station au point A, on implante le point C cherché en ouvrant de l’angle β depuis le point 1.



Contournement d’un obstacle

Un bâtiment sur l’alignement AB empêche le jalonnement (fig. 9.16.). On matérialise un nouvel alignement AA′ contournant l’obstacle et sur lequel on abaisse BB′ perpendiculaire à AA′ avec une équerre optique (voir § 1.1.2.2). On mesure ensuite les distances BB′ et AB′.

Fig. 9.16. : Contournement d’obstacle

On choisit deux points C′ et D′ sur l’alignement auxiliaire AB′ tels que les perpendiculaires CC′ et DD′ passent de chaque côté de l’obstacle. On mesure les distances AC′ et BB′ BB′ AD′ et on en déduit que : CC′ = AC′ --------- et DD′ = AD′ --------AB′ AB′ On implante C′′ et D′′ sur la perpendiculaire à AA′ puis on positionne enfin C et D. Si l’on dispose d’un théodolite, on peut stationner un point M quelconque depuis lequel on voit A et B et mesurer l’angle AMB (β) ainsi que les distances AM et BM (fig. 9.17.). On peut alors calculer les angles α1 ou α2. Ensuite, on stationne sur A (ou B) puis, le zéro des angles horizontaux étant fixé sur M, on ouvre de l’angle (400 – α1) (ou bien α2 depuis B). On peut écrire (fig. 9.17.) :

Fig. 9.17. : Contournement d’obstacles

sin α 1 sin ( 200 – α 1 – β ) sin ( α 1 + β ) ------------- = ------------------------------------------ = --------------------------BM AM AM

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AM ⋅ sin α 1 = BM ( sin α 1 ⋅ cos β + sin β ⋅ cos α 1 ) donc : AM cot α 1 = ---------------------- – cotan β BM ⋅ sin β Si les obstacles sont tels que l’on ne puisse pas trouver de point M depuis lequel A et B sont visibles, il faut alors effectuer un cheminement polygonal de A vers B (fig. 9.18.) dans le but de calculer l’angle α (voir cheminements, tome 2, chap. 2, § 1). Grâce au cheminement A-1-2-B, on calcule les coordonnées (xB ; yB) du point B dans le repère local Axy (origine A, angle affiché sur le premier côté de 100 gon).

Fig. 9.18. : Contournement d’obstacles

On peut ensuite en déduire que : xB – xA tan α = --------------yB – yA Si l’on ne dispose pas d’un théodolite, on peut aussi utiliser la méthode suivante basée uniquement sur des mesures linéaires (fig. 9.19.) : Pour construire P sur AB, on élève deux perpendiculaires à AB, AA′ et BB′, les points A′ et B′ étant choisis tels qu’on puisse mesurer A′B′.

Fig. 9.19. : Contournement d’obstacles

On mesure AA′ et BB′ ainsi que A′B′. Les triangles AA′P et BB′P sont semblables donc on peut écrire :

A′P B′P A′P + B′P A′B′ --------- = --------- = ------------------------- = ------------------------BB′ AA′ + BB′ AA′ + BB′ AA′ AA′ ⋅ A′B′ par suite A′P = ------------------------AA′ + BB′ Grâce à cette cote, on place P sur l’alignement auxiliaire A′B′. On contrôlera que PB′ = A′B′ – A′P.



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Prolongement d’un alignement

Prolonger sans obstacles

Si l’on procède à vue, le procédé est identique au jalonnement sans obstacle exposé au paragraphe 1.5. Pour éviter une perte de précision, il ne faut éviter de prolonger un segment de plus du quart de sa longueur. Si l’on dispose d’un niveau avec un cercle horizontal gradué, on peut stationner un des deux points de l’alignement à prolonger, puis fixer le zéro du cercle sur l’autre point, et faire pivoter le niveau de 200 gon. Si l’on dispose d’un théodolite et que l’on recherche une grande précision, on peut (fig. 9.20.) stationner un des deux points de l’alignement à prolonger (B), pointer l’autre (A) et basculer la lunette autour de l’axe des Fig. 9.20. : Prolonger un alignement tourillons. Ceci donne un point P1. On effectue ensuite un double retournement : cela donne un point P2. Si P1 et P2 ne sont pas confondus, le point cherché P est au milieu du segment P1-P2 ; ce procédé est aussi utilisé pour régler un théodolite (voir chap. 3, § 2.3.4). Si le théodolite utilisé est parfaitement réglé, P1 et P2 sont confondus aux imprécisions de mesure et de mise en station près.



Prolonger au-delà d’un obstacle

L’alignement AB doit être prolongé au-delà d’un obstacle. Si l’on ne dispose pas d’un théodolite, on peut construire un alignement A′B′ parallèle à AB à une distance d suffisante pour contourner l’obstacle. On revient sur le prolongement de l’alignement AB en construisant l’alignement parallèle à A′B′ à la distance d (fig. 9.21.). Si l’on dispose d’un théodolite en station sur A, on implante un point E permettant de contourner l’obstacle, on mesure l’angle α = BAE et la distance d = AE. Ensuite, en station E, on ouvre de l’angle (200 – 2.α) depuis A pour obtenir la direction EC sur laquelle on reporte la distance d : cela donne le point C. Enfin en station en C, on

Fig. 9.21. : Prolongement au-delà d’un obstacle

Fig. 9.22. : Prolongement au-delà d’un obstacle

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ouvre de l’angle α depuis E et on obtient la direction CD (fig. 9.22.). Le triangle AEC est isocèle.



IMPLANTATION DE POINTS EN PLANIMÉTRIE

Pour tout chantier, il est indispensable de disposer de points de référence en planimétrie. Ces points permettent l’implantation des travaux et le contrôle de leur avancement. Ils doivent être matérialisés par des bornes ou des repères durables situés à proximité immédiate du chantier, mais hors de l’emprise des travaux. Deux points au minimum sont nécessaires, par exemple A et B, station A et orientation sur B, de coordonnées connues :

q

q

soit en repère général (Lambert) : on les détermine alors par les procédés classiques de densification de canevas ou plus généralement par des cheminements appuyés sur des points proches connus en système général (voir tome 2, chap. 2, § 1). Étant donné le grand nombre de points présents sur notre territoire, c’est la méthode la plus employée ; soit en repère local : on peut alors se fixer une base de deux points qui sert de référence, un point A origine et un point B à une distance donnée de A. L’orientation peut s’effectuer à la boussole pour obtenir une valeur approximative du gisement de la direction AB.



Par abscisses et ordonnées

Cette méthode est utilisable si l’on ne dispose que d’un ruban en terrain régulier et à peu près horizontal ou d’une équerre optique en terrain accidenté. À partir d’un alignement de référence AB, on implante un point P à partir de ses coordonnées rectangulaires dans le repère (A, x, y), l’axe des x étant la ligne AB ; on reporte la cote xP sur AB (point H) puis on trace la perpendiculaire à AB passant par H et on y reporte la cote yP , (fig. 9.23.). On contrôle que AP2 = xP2 + yP2.

Fig. 9.23. : Abscisses et ordonnées



Par rayonnement

Ce procédé est adapté aux théodolites, mécaniques ou électroniques avec ou sans IMEL. On connaît les coordonnées polaires topographiques d’un point P dans le repère (A, x, y), y étant un alignement AB donné.



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Les coordonnées polaires topographiques sont, dans l’ordre, la distance horizontale Dh = AP et l’angle α = BAP positif en sens horaire (fig. 9.24.). Attention : si l’on dispose des coordonnées polaires mathématiques (Dh , θ), il faut implanter l’angle (100 – θ) depuis l’axe y. Si l’on ne dispose pas d’un théodolite, on implante l’angle α par des mesures linéaires Fig. 9.24. : Rayonnement (§ 1.3) et on reporte la distance Dh sur l’alignement AP. Veillez à tenir compte de la déni2 2 velée en terrain incliné : on reporte la distance suivant la pente Dp = ( Dh + ∆H ) Si l’on dispose d’un théodolite et d’un ruban en terrain régulier et à peu près horizontal, l’opérateur stationne le théodolite en A et positionne le zéro du cercle horizontal sur AB. Il ouvre ensuite de l’angle α depuis B et positionne P à la distance horizontale Dh de A. Le contrôle est effectué en calculant BP et en vérifiant cette cote sur le terrain. BP est calculée par résolution du triangle ABP dans lequel on connaît AB, AP et α. On réalise l’implantation directe du point P si l’on peut tendre le ruban entre A et P : l’opérateur maintient l’origine du ruban sur le point de station par l’intermédiaire d’un clou ou bien il le maintient au pied et aligne un aide dans la direction α. L’aide place le point à la distance Dh de la station. Si le point P est hors d’atteinte du ruban, on peut implanter deux points de l’alignement autour de P et s'appuyer sur ces points pour tendre le ruban et positionner P. Si l’on dispose d’un IMEL, l’opérateur en station en A guide un aide tenant le miroir : il l’aligne d’abord dans la direction AP puis effectue une première lecture de la distance station-miroir. Il en déduit la valeur à corriger pour se positionner sur le point P, déterminé ainsi en quelques approximations. Il est aussi possible de réaliser cette implantation seul au moyen d’une station robotisée : l’opérateur stationne l’appareil en A puis se déplace vers le point P. Il envoie par radio à la station robotisée les coordonnées, rectangulaires ou polaires, du point à implanter et l’appareil pointe automatiquement en direction de ce point. L’opérateur déplace alors un récepteur jusqu’à ce que la station robotisée indique qu’il se situe sur le point P. Remarque Il arrive fréquemment que l’on connaisse les coordonnées des points à implanter et des points de référence A et B en système général (Lambert). Dans ce cas, si l’on ne dispose que d’un théodolite mécanique, sans fonctions de calculs de coordonnées, il est pratique de calculer les coordonnées polaires des points à implanter : distance horizontale et gisement, et de les reporter directement sur le terrain. Pour cela, il suffit de calculer au préalable le gisement GAB et, lors de la mise en station de l’appareil en A,

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d’afficher GAB sur B (fig. 9.25.). Pour implanter un point P, on affiche GAP sur le théodolite et on matérialise P à la distance horizontale Dh. Si les distances dépassent 200 m, il faut faire les calculs de réduction des distances (voir chap. 4, § 7).

Fig. 9.25. : Implanter avec gisement et distance



Intersection de deux alignements

On cherche à construire le point P matérialisant l’intersection des alignements AB et CD (fig. 9.26.). Si l’on ne dispose pas d’un théodolite, on peut utiliser le matériel suivant :

q

Fig. 9.26. : Intersection

un cordex : c’est un cordeau permettant de laisser une trace bleu ou rouge sur un support en béton, en plâtre, etc. Le cordex est tendu entre les points matérialisant les alignements dont on laisse la trace au sol. P est à l’intersection des deux traces ;

q

des cordeaux ou des fils de fer tendus entre les points définissant les alignements : les cordeaux sont tendus audessus du sol ; l’opérateur fait coulisser un fil à plomb sur l’un des deux cordeaux jusqu’à toucher l’autre cordeau ; le point P cherché est matérialisé par l’extrémité du fil à plomb. On tiendra compte de l’éventuel décalage des cordeaux dû à l’épaisseur des jalons (fig. 9.26.). Si l’on dispose d’un théodolite (fig. 9.27.), on repère à vue la zone dans laquelle se situe le point d’intersection. Ensuite, en station sur A, l’opérateur vise le point B puis, en abaissant la lunette du théodolite, il guide un aide dans le positionnement approximatif d’un piquet B′, ou une

Fig. 9.27. : Intersection



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chaise d’implantation (voir § 4.1.2), au-delà du point P cherché. On affine en plantant un clou sur le piquet dans l’alignement AB. La même opération est répétée sur un piquet A′ situé en deçà du point P. Il reste à tendre un cordeau entre les deux clous plantés pour matérialiser l’alignement AB autour du point P. On procède de même pour l’alignement CD. On place un dernier piquet au niveau de l’intersection des deux cordeaux et on plante un clou pour matérialiser le point P. Pour gagner du temps, il est possible de n’implanter que les piquets A′ et B′ puis positionner directement le point P au théodolite sur l’alignement A′B′. Si le sol ne permet pas l’utilisation de piquets ni de chaises et si les points de base des alignements sont trop éloignés pour utiliser le cordex, on plante les clous directement dans le support, en s’appuyant sur la visée au théodolite, et l’on tend un cordex ou un cordeau entre ces clous.



Contrôle d’une implantation

La phase de contrôle d’une implantation est aussi importante que l’implantation ellemême. Pour être fiable et représentatif de la précision d’implantation, un contrôle doit porter sur des dimensions non implantées déduites par calcul des éléments implantés.

Fig. 9.28. : Contrôles après implantation

Par exemple, si l’on implante une figure polygonale en coordonnées polaires, le premier contrôle à effectuer est la mesure des distances entre les sommets (a-b, b-c, etc., voir fig. 9.28.). Ceci renseigne sur la précision de l’implantation. Un deuxième contrôle consiste en la mesure de diagonales du polygone de manière à s’assurer de l’allure

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générale de la figure implantée sur le terrain ; un contrôle complet, mais redondant, nécessiterait un découpage en triangles et la mesure de tous les côtés de tous les triangles. Le dernier contrôle est la position du polygone par rapport à un point de référence, si possible non utilisé pour l’implantation ; cela permet de s’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreur en orientation angulaire de l’ensemble du polygone. On implante le polygone ab-c-d-e-f-g (fig. 9.28.) depuis A avec une visée de référence sur B et l’on contrôle depuis le point B. En phase de contrôle, on peut voir en pointillé le minimum de mesures linéaires à effectuer pour contrôler l’implantation (en plus des mesures des côtés a-b, bc, etc.).



Exercice

Cet exercice est tiré d’une épreuve du BTS bâtiment (session de 1990). Établir le tableau d’implantation des axes des poteaux P1, P2, P3 et P4 (fig. 9.29.) ainsi que le tableau des contrôles à effectuer. Les points de référence sont A et B, connus en coordonnées locales associées au chantier. On souhaite implanter directement les poteaux depuis une station unique en A. Les données sont les suivantes : On en déduit GAB = 90,221 gon.

Point A B x (m) 100,000 109,882 y (m) 500,000 501,530

Fig. 9.29. : Vue en plan de l’implantation demandée



TECHNIQUES D’IMPLANTATION

La résolution analytique est la suivante. Le plus simple dans ce type de problème est de procéder par changement de repère. 1 - Coordonnées de P1, P2, P3 et P4 dans le repère R1 d’origine P2 et d’axe des x passant par P3 (fig. 9.30.) :

Point P1 P2 P3 P4 x1 (m) —2,550 0,000 2,120 4,670 x2 (m) —0,683 0,000 2,060 6,345 x3 (m) 1,317 2,000 4,060 8,345 y1 (m) 7,6100 0,000 0,000 7,660 y2 (m) 7,997 0,000 —0,500 6,342 y3 (m) 10,997 3,000 2,500 9,342

2 - Rotation de repère : le nouveau repère R 2, dont l’axe des x est parallèle à la droite AB, est obtenu par une rotation d’angle α tel que : 3, 00 – 2, 50 sin α = --------------------------- donc α = 15,157 gon. 2, 12 3 - Translation de repère : les axes du nouveau repère R3 sont parallèles à ceux de R2, son origine est au point A ; on effectue donc une translation de vecteur P 2 A (– 2,00 ; – 3,00).

Point P1 P2 P3 P4 Point P1 P2 P3 P4

La transformation en coordonnées polaires topographiques est réalisée comme suit : Avec les coordonnées polaires ci-après, implantez les axes des poteaux en stationnant un théodolite en A, zéro sur B.

Point P1 P2 P3 P4 Dh (m) 11,075 3,606 4,768 12,527 Hz (gon) 307,586 337,432 364,863 346,412

Attention, la transformation brute des coordonnées rectangulaires en polaires ne donne pas l’angle d’implantation mais l’angle polaire α en conventions mathématiques. L’angle d’implantation est alors 400 – α.

Fig. 9.30. : Changements de repères

Si l’on désire les coordonnées des poteaux dans le repère local dans lequel sont donnés A et B, on poursuit de la manière suivante :

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4 - Rotation de repère : pour arriver au repère R4 d’axes parallèles au repère général, il faut faire une rotation d’angle β = 100 – 90,221 = 9,779 gon. Attention, suivant les formules que vous utilisez, l’angle β sera positif ou négatif. Dans notre cas, la formule utilisée pour la première rotation était la formule en conventions mathématiques (α était positif) donc ici β sera négatif : β = – 9,779 gon. 5 - Translation de repère : il reste à effectuer une translation de vecteur AO pour passer dans le repère local (R, x, y) dans lequel sont donnés A et B. On obtient alors les coordonnées finales de P1, P2, P3 et P4 (voir tableau ci-contre). Ces points peuvent donc être implantés en coordonnées rectangulaires. Si l’on désire implanter en coordonnées polaires, on peut enfin transformer les coordonnées rectangulaires en distance horizontale et gisement. L’implantation se fera alors ainsi : en station au point A, l’opérateur affiche GAB = 90,221 gon sur le point B et implante directement les longueurs et angles ci-contre.

Point P1 P2 P3 P4

x4 (m) —0,381 1,517 3,630 6,817

y4 (m) 11,069 3,271 3,092 10,509

Point P1 P2 P3 P4

x (m) 99,619 101,517 103,630 106,817

y (m) 511,069 503,271 503,092 510,509

Point P1 P2 P3 P4

Dh(m) 11,075 3,606 4,768 12,527

G(API)(gon) 397,807 27,653 55,084 36,633

Les longueurs sont données au millimètre près puisque cela correspond à la précision des données que sont les coordonnées de A et B. Il est utile de connaître la précision angulaire nécessaire pour obtenir la précision du millimètre en implantation. Ceci est essentiellement fonction des portées des visées. Dans cet exemple, un écart angulaire de ± 0,005 mgon sur la portée maximale 12,5 m correspond à une erreur de ± 1mm. Le contrôle de l’implantation est effectué comme suit. Pour cette phase, il est préférable d’avoir effectué les calculs jusqu’aux coordonnées dans le repère R puisque cela permet de calculer facilement les distances de chaque point implanté au point B, ce qui constitue une bonne vérification de la position des points P1, P2, P3 et P4 par rapport à AB. Ci-dessous sont indiquées les cotes à vérifier sur le terrain : en italique les vérifications minimales, sinon les vérifications redondantes.

P1P2 = 8,026 m P3P4 = 8,073 m P1P3 = 8,929 m BP1 = 14,012 m P1P4 = 7,220 m BP2 = 8,544 m P2P3 = 2,1200 m BP3 = 6,444 m P2P4 = 8,971 m BP4 = 9,488 m

La précision espérée sur cette implantation est la suivante : ce calcul est destiné à donner un ordre de grandeur de la précision que l’opérateur peut obtenir sur les points



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implantés de manière à pouvoir évaluer si les écarts entre valeurs théoriques et valeurs mesurées sur le terrain sont acceptables. L’écart type en positionnement planimétrique sur chaque point peut s’exprimer comme suit : σ P =

q

( Dh ⋅ σ Hz ) + ( σ Dh ) .

2 2

q

Si l’on considère que l’opérateur implante avec un théodolite mécanique T06 (σHz ≈ ± 1 cgon) et un ruban de 30 m de classe III (σDh = ± 4,7 mm), on obtient sur la portée la plus longue σP = ± 5,1 mm, soit une tolérance de ± 1,4 cm. Si l’on considère que l’opérateur implante avec un théodolite mécanique T16 (σHz ≈ ± 1 mgon) et un ruban de 30 m de classe II (σDh = ± 2,3 mm), on obtient sur la portée la plus longue σP = ± 2,3 mm, soit une tolérance de ± 6 mm.

Résolution graphique

L’environnement de travail est le suivant (case de dialogue CONTROLE DES UNITES du menu FORMAT) : unités décimales avec trois chiffres après la virgule, angles en grades avec trois chiffres après la virgule, sens de rotation horaire, zéro au nord. Plusieurs solutions sont possibles. Celle exposée ci-après permet de dessiner directement en repère général. Dessin du segment AB : LIGNE↵ du point 100,500↵ au point 109.882,501.53↵ Zoom↵ Etendu↵ suivi de Zoom↵ 0.7X↵ pour voir l’ensemble du dessin. SCU↵ OBjet↵, cliquez sur la ligne AB vers le point A. AutoCAD passe dans le repère R3 (fig. 9.30.). Point d’axe du poteau P2 : POINT↵ 2,3↵

Fig. 9.31. : Construction graphique

Construction du point d’axe du poteau P3 : LIGNE↵ du point P2 (NODal de...) au point @0,-0.5↵ au point @5,0↵. Cercle↵ de centre P2 et de rayon 2.12↵ : le point P3 est à l’intersection de la dernière ligne tracée et du cercle : POINT↵ INTersection de... (fig. 9.31.) Effacez les traits de construction: E↵ sélectionnez les deux droites et le cercle puis validez. SCU↵ 3points↵ : origine en P2 (NODal de..), point sur l’axe des x en P3 (NODal de..), point dans la zone positive des y, cliquez vers le haut de l’écran. AutoCAD passe dans le repère R1 (fig. 9.30.).

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Point d’axe des poteaux P1 et P4 : POINT↵ -2.55,7.61↵ et POINT↵ 4.67,7.66↵ Retour au SCU général pour obtenir les coordonnées des axes des poteaux : SCU↵↵ Coordonnées des poteaux : pour chaque point d’axe, ID↵ NODal de… Lecture directe du tableau d’implantation: LIGNE↵ de A vers chaque poteau (EXTrémité de... à NODal de...). LISTE↵ puis cliquez sur les quatre droites et notez la longueur (Dh) et l’angle dans le plan XY (gisement).



IMPLANTATION DE REPÈRES ALTIMÉTRIQUES

Sur un chantier, des repères altimétriques sont indispensables. Ils sont implantés par des nivellements rattachés au réseau NPF (voir chap. 2 , § 1.5). On place ainsi sur le chantier plusieurs bornes ou repères de nivellement qui doivent être répartis sur l’emprise du chantier et positionnés de sorte qu’ils restent en place pendant la durée des travaux. Le plus simple est de niveler les points qui servent aussi de référence en planimétrie. En théorie, un seul repère de nivellement est nécessaire ; dans la pratique, il est préférable d’en implanter plusieurs.



Pose d’un trait de niveau

Les repères de nivellement servent d’origine à des cheminements courts ou à des visées directes permettant de placer des repères d’altitude en cotes entières appelés traits de niveau. On les réalise au cordex sur des murs existants, des piquets, etc. Par exemple, pour réaliser l’implantation du trait de niveau 110,00 m sur un mur existant (fig. 9.32.), on stationne le niveau à mi-distance entre le mur et le repère altimétrique A le plus proche. On vise une mire en A et l’on en déduit l’altitude du plan de visée :

Fig. 9.32. : Pose d’un trait de niveau

Hplan de visée = HA + Lmire



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Ici, HP = 107,94 + 1,78 = 109,72 m. L’opérateur vise ensuite le mur sur lequel un aide déplace un mètre de poche jusqu’à ce que l’opérateur lise la graduation 28 cm (110 – 109,72) sur le mètre. L’aide place alors un trait sur le mur. On répète la dernière opération plus loin et l’on joint les deux repères au cordex pour obtenir le trait de niveau.



Nivellement de chaises d’implantation ou de piquets

Il est intéressant de disposer sur tous les piquets un trait de niveau et de régler les chaises à la même altitude pour éviter ainsi les erreurs dans les reports de distance dues aux différences d’altitude. Les piquets (ou les chaises) étant en général sous le plan de visée, on ne peut pas y poser facilement un mètre de poche (comme sur le mur, de la figure Fig. 9.33. : Nivellement de chaises ou de piquets 9.32.). On nivelle donc le sommet du piquet par un nivellement par rayonnement avec visée arrière sur un point de référence du chantier et l’on reporte au mètre de poche le trait de niveau sur le piquet ; s’il s’agit d’une chaise, on répète cette opération pour les deux piquets et l’on cloue la latte horizontale de la chaise. Par exemple, sur la figure 9.33., le repère A est à l’altitude HA = 107,94 m ; on place une mire sur A (LA = 1,78 m) puis sur le piquet P1 (LP1 = 1,66 m). L’altitude de la tête du piquet est donc HP1 = 107,94 + (1,78 – 1,66) = 108,06 m. On désire placer les chaises à l’altitude 108,00 m. On trace donc un trait de niveau situé à 6 cm sous la tête du piquet. Après avoir fait la même chose pour l’autre piquet, on fixe la latte horizontale de la chaise.



Utilisation des appareils laser

Un laser émet un faisceau lumineux qui se disperse très peu : le diamètre du faisceau lumineux émis est de l’ordre du millimètre à 100 m, et permet donc de matérialiser un axe (laser fixe) ou un plan (laser tournant). En projetant l’émission du laser fixe sur un obstacle, on obtient un point d’un alignement. En projetant l’émission du laser tournant sur un mur, on obtient un trait de niveau ; on peut aussi incliner le laser pour obtenir des lignes de pente donnée jusqu’à des contrôles de verticalité. Après avoir déterminé l’altitude de la station de l’appareil, on peut l’utiliser pour remplacer le trait de niveau ou pour matérialiser un alignement. Les opérations de nivellement peuvent alors être réalisées par un seul opérateur. Ces appareils sont décrits plus en détail au chapitre 7, paragraphe 4.

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IMPLANTATION D’UN BÂTIMENT

Bâtiments courants

Il s’agit des bâtiments de petites et moyennes dimensions (villas, petits immeubles, etc.) généralement fondés superficiellement, c’est-à-dire à de faibles profondeurs par rapport au dernier niveau excavé.



Piquetage de l’emprise des terrassements

On matérialise cette emprise par les limites extérieures des terrassements, axes AA′, BB′, CC′, etc. de la figure 9.34., les piquets étant placés en dehors de la zone à terrasser. Pratiquement, le piquetage est réalisé par les méthodes traitées aux paragraphes 1 et 2 en s’appuyant sur des repères connus ou sur les bâtiments voisins, ou encore sur les constructions du domaine public. Lors de l’exécution des terrassements, on contrôle la progression par nivellement régulier du fond de fouilles en s’appuyant sur un repère de nivellement.

Fig. 9.34. : Piguetage d’un terrassement



Positionnement des chaises d’implantation

Une chaise d’implantation (fig. 9.35.) est constituée d’une latte horizontale fixée à deux piquets. La face supérieure de la latte horizontale est positionnée à une altitude donnée (trait de niveau) et on y plante des clous qui matérialisent les axes de la construction. Les chaises sont donc placées autour de la construction, en retrait, de manière à ne pas gêner les travaux (fig. 9.36.). De plus, il Fig. 9.35. : Chaise d’implantation faut veiller à régler les lattes de chaque chaise d’un même axe à la même altitude. Ces altitudes sont décalées de quelques centimètres (5 cm par exemple) d’une paire de chaise à l’autre pour éviter les interférences entre cordeaux.



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Les chaises matérialisent en général l’axe longitudinal du bâtiment, l’axe des fondations ou des murs à implanter (fig. 9.36.). Elles sont plantées en retrait de la zone de travaux (1 à 2 m) et les cordeaux ou fils de fer tendus entre les chaises représentent les axes à implanter (fig. 9.36. et 9.37.). Le positionnement des chaises est réalisé comme suit : dans le Fig. 9.36. : Position des chaises d’implantation repère local associé au chantier, souvent une simple ligne de base ou un ouvrage existant, l’opérateur calcule la position de deux points d’axe qu’il reporte sur le terrain. Par exemple les points D et E (fig. 9.36.) placés à partir de la ligne de base AB en prenant les cotes sur le plan d’implantation du bâtiment. Les autres axes sont construits par jalonnement (alignements, perpendiculaires, parallèles, etc.) à partir de l’axe DE. Il en déduit la position des chaises en prolongeant les alignements.



Report des points d’axe en fond de fouilles

Fig. 9.37. : Report de points d’axe en fond de fouilles

Les points d’axe sont reportés au sol sur le béton de propreté en fixant un fil à plomb à l’un des cordeaux. Les points d’intersection des axes sont obtenus de même en faisant coulisser le fil à plomb attaché à un cordeau jusqu’à ce qu’il touche un cordeau perpendiculaire (fig. 9.37.).

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Exemple d’implantation

Le plan de masse de la construction (fig. 9.38.) précise le retrait d1 du bâtiment par rapport à l’alignement public (route) ; d1 doit être supérieur à une valeur minimale fixée par les services publics. Le plan de masse précise aussi la distance d2 à la limite de propriété voisine ; d2 est, elle aussi, supérieure à une valeur minimale. Il fixe en outre l’orientation du bâtiment par l’angle α entre son axe longitudinal et l’alignement public servant de référence. Plusieurs méthodes sont possibles :

Fig. 9.38. : Exemple général

1 - Sur un terrain régulier et à peu près horizontal, construisez avec un ruban et des jalons l’alignement DH parallèle à la limite de propriété à la distance d2. Construisez l’alignement AH parallèle à l’alignement public à la distance d1, puis déduisez en le point H d’intersection de ces alignements. Reportez la distance h.sinα depuis H vers le point A et la distance h.cosα vers le point D. Construisez ensuite l’alignement BA en implantant l’angle α depuis l’alignement AH (voir § 1.3). BC et CD sont enfin parallèles à AD et AB à des distances L et h. 2 - En terrain plus accidenté il est préférable de procéder avec un ruban et une équerre optique : calculez les coordonnées rectangulaires des points A, B, C et D dans le repère (S,x,y) (fig. 9.39.) et implantez ces points par abscisses et ordonnées (voir § 2.1). Il faut d’abord positionner S à partir de la borne B : DSB = d2 + h.sinα – d1.cotanα.

Fig. 9.39. : Repère local d’implantation

Les coordonnées des points à implanter sont les suivantes :

A (– d1.cotan α ; d1) B (– d1.cotan α – L.cosα ; d1 + L.sinα) C (– d2 – L.cosα ; d1 + h.cosα + L.sinα) D (– d2 ; d1 + h.cosα)



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3 - En terrain très accidenté, il vaut mieux utiliser un théodolite et un ruban ou un distancemètre: à partir des coordonnées de A, B, C et D dans le repère (S,x,y), implanter en coordonnées polaires depuis une station en S, référence en B. Remarque Si le terrain présente des dénivelées importantes par rapport aux distances horizontales à implanter, il faut en tenir compte dans les distances à reporter : pour cela, on reporte la distance suivant la pente Dp = ( Dh ) + ( ∆H ) , la dénivelée ∆H étant mesurée par nivellement direct ou indirect (voir les chapitres 5 et 6).

2 2

Dans tous les cas, il faut contrôler les cotes extérieures du bâtiment et les diagonales.



Bâtiments sur fondations spéciales, ouvrages d’art

La précision nécessaire à l’implantation des fondations de ce type d’ouvrage (fondations profondes ou semi-profondes, certaines fondations du type micro pieux nécessitant des précisions de l’ordre du millimètre...) oblige à utiliser essentiellement le théodolite, d’autant que ce type de chantier est toujours de grande étendue. Une station totale est alors recommandée. L’implantation s’effectue par rayonnement depuis un micro canevas de stations déterminées en repère général ou local. Les points à implanter sont calculés dans le repère utilisé pour le chantier à partir des indications des plans d’exécution. Les précisions à respecter sont de l’ordre de ± 1 à ± 2 cm en planimétrie et de ± 1 cm en altimétrie. L’exercice du paragraphe 2.5 est représentatif de ce type d’implantation.



Bâtiments de grande hauteur

Les problèmes spécifiques à ce type de bâtiments sont le report de repères dans les étages (altimétrie et planimétrie). En effet, pour un bâtiment de hauteur moyenne, on peut se contenter d’utiliser les axes (ou les nus extérieurs) des éléments porteurs de l’étage inférieur et de les reporter par de simples mesures au mètre de poche sur le plancher de l’étage supérieur. Pour de très grandes hauteurs (au-delà de la dizaine d’étages), le cumul des erreurs de report à chaque niveau peut entraîner des décalages trop importants en fin d’ouvrage, décalages généralement plus nuisibles du point de vue esthétique que du point de vue de la résistance de l’ouvrage.



Report de repères planimétriques en étages

Parmi les solutions possibles, citons les suivantes : 1 - Translation des repères planimétriques de l’étage inférieur vers l’étage supérieur. Il faut ménager des trémies de 20 cm × 20 cm à la verticale des points de repère. Ces derniers sont au minimum au nombre de deux afin de disposer d’une base d’implantation complète à l’étage supérieur. On stationne ensuite un théodolite sur le point de référence à l’étage inférieur (point A, fig. 9.40.) ; pour être plus précis, il faut reprendre à chaque

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fois la référence au rez-de-chaussée, ce qui oblige à laisser les trémies jusqu’au dernier étage. Ensuite, au moyen d’un oculaire coudé, on vise au zénith pour guider un aide qui positionne une plaque sur la trémie supérieure. On peut aussi stationner à l’étage supérieur à la verticale du point de l’étage inférieur en s’aidant du plomb optique et positionner ensuite une plaque sur la trémie (point B, fig. 9.40.). On y grave la position du repère. Notez que le plomb optique doit être parfaitement réglé (voir chap. 3, § 2.3.3).

Fig. 9.40. : Report de points de repère en étage

Le repérage altimétrique peut être réalisé par mesures linéaires, au ruban, depuis les étages inférieurs. Il est également possible de contrôler l’altitude d’un plancher par des visées de nivellement indirect depuis des stations extérieures au bâtiment (voir chap. 3, § 7.4). 2 - Utilisation d’une lunette nadiro-zénithale (lunette Wild ZNL) : c’est une lunette d’aplomb rigide, précise et résistante qui permet de faire des visées vers le haut ou vers le bas par simple retournement de la lunette qui se monte en centrage forcé dans une embase Wild. Le calage des lignes de visée est effectué par une seule nivelle double face ; la face supérieure et la face inférieure de la nivelle sont incurvées. La précision obtenue avec deux visées diamétralement opposées est de l’ordre de 1 mm à Doc Leica : Lunette ZNL 30 m pour le modèle à nivelle tubulaire et de 0,5 mm à 100 m avec les modèles automatiques ZL (lunette seulement zénithale) ou NL (lunette seulement nadirale). Après utilisation de cette lunette, il est possible de positionner un théodolite sur la même embase (centrage forcé assurant une remise en position au 1/100 de millimètre près).



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3 - Utilisation d’un fil à plomb de grande longueur dont l’extrémité baigne dans un bain d’huile pour le stabiliser. La méthode, apparemment simple, est difficile à mettre en œuvre en pratique (surtout s’il y a du vent). Un autre procédé équivalent, plus précis et surtout plus facile à mettre en œuvre, est l’utilisation d’un fil à flotteur (fil en acier travaillant sous tension constante et fixé à un flotteur immergé dans un bain de mercure ; il se monte sur un trépied de théodolite). Cet appareil permet d’obtenir une très grande précision : 0,08 mm sur 27 m, mesuré par l’IGN dans une cage d’escalier ; il est toutefois également sensible au vent.



Verticalité des façades

Les appareils laser (voir chap. 7, § 4) peuvent être utilisés pour régler et contrôler la verticalité des éléments porteurs lors de la construction. Il est par exemple possible de positionner un laser fixe sur un mur ou près d’un mur porteur du rez-de-chaussée, décalé d’une valeur d du nu extérieur de ce mur. On place une première cible sur un nu extérieur du premier étage pour contrôler le point de passage du laser. On place enfin une cible décalée de la même valeur d sur un porteur en étage ou sur un coffrage, pour l’aligner. La grande portée du laser et la faible dispersion de son faisceau permettent de travailler jusqu’à de très grandes hauteurs.



Piquetage de pentes

L’implantation d’une pente donnée, par exemple une voie d’accès, peut être réalisée de plusieurs manières. 1 - À l’aide d’un niveau et une mire : si la longueur de l’ouvrage ne dépasse pas 100 m, on peut piqueter les points d’axe d’une pente à partir d’une seule station d’un niveau. Ces points d’axe sont déjà placés en planimétrie. Si la pente à implanter est une ligne droite, on stationne le niveau dans son axe et on place les piquets en les alignant grâce au niveau et à la mire.

Fig. 9.41. : Piquetage d’une pente au niveau

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L’opérateur stationne un point quelconque en tête d’alignement (fig. 9.41.). L’aide positionne le premier piquet P1 de la pente par nivellement direct à partir du repère R : HP1 = HR + LR – LP1. HP1 étant connue, l’aide doit enfoncer un piquet jusqu’à ce que l’opérateur lise la cote LP1 sur la mire ou bien placer un trait de niveau sur le piquet. Le deuxième piquet P2 étant à la distance d1 de P1, le sommet de ce piquet doit être à l’altitude suivante : HP2 = HP1 + p . d1 , pour une pente donnée de p % avec p algébrique. Par convention, une valeur de p négative représente une descente et une valeur positive une rampe (montée). Par exemple : p = – 4% ; P2 est à 50 m de P1 à une altitude de 105,23 m ; l’altitude de P2 sera : 105,23 – 0,04.50 = 103,23 m. On procède de même pour chaque piquet d’axe de la pente. d représente l’abscisse curviligne horizontale, c’est-à-dire la distance en projection horizontale entre points d’axe en suivant la courbe joignant ces points. Par exemple, dans un virage de rayon de courbure R, la distance d ne représente pas la corde mais l’arc de longueur R.αradian pour un angle au centre αradian. Attention ! la distance d1 est généralement mesurée suivant la pente, notée Dp. Si la pente est faible ou si d1 est courte, on peut assimiler la distance horizontale Dh à la distance suivant la pente. Vérifiez que l’erreur commise dans l’exemple numérique précédent serait de l’ordre de 4 cm sur la distance et inférieure à 2 mm sur la dénivelée. Si l’on estime qu’on ne peut pas négliger l’écart entre Dp et Dh, il faut effectuer le calcul suivant : une pente p fait un angle i avec l’horizontale tel que p = tan i. Donc si l’on mesure la distance suivant la pente Dp, la distance horizontale est Dh = Dp . cos(arctan p) et l’altitude du point P2 est HP2 = HP1 + p.Dh. 2 - À l’aide d’un théodolite : une pente p donne un angle de site i tel que p = tan i. L’angle zénithal à positionner sur le cercle vertical du théodolite est alors : V = 100 – arctan p. L’opérateur mesure la hauteur des tourillons ht en station sur le premier point de la pente et guide un aide qui positionne les autres piquets de sorte que la lecture sur la mire soit égale à ht sur chaque point de la pente (fig. 9.42.).

Fig. 9.42. : Piguetage d’une pente au théodolite

3 - À l’aide d’un appareil laser : on utilise par exemple un laser tournant décrivant un plan horizontal ou un plan incliné de la pente p. Le principe est identique au niveau, à



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savoir que le piquetage peut être fait par une seule personne disposant par exemple d’une mire avec un capteur de position du faisceau laser.





RACCORDEMENTS CIRCULAIRES

Les raccordements circulaires se trouvent principalement dans les projets routiers mais également dans les bâtiments courants, pour l’implantation de voiles courbes par exemple ; les exemples choisis sont toutefois essentiellement issus des raccordements routiers. La topométrie routière et ses spécificités sont traitées au paragraphe 6.

Raccordements circulaires simples

Un raccordement circulaire simple est un arc de cercle TT′ tangent à deux alignements droits ST et ST′ (fig. 9.44.). Le point S est le sommet du raccordement ; il est l’intersection des deux alignements droits. Les alignements étant connus, le point S ainsi que l’angle γ sont connus. T et T′ sont les points de tangence. Deux cas de figure peuvent se présenter :

q

soit le rayon R de raccordement est connu : il est choisi lors du projet et dépend de la catégorie de la route (voir § 6.1) ;

Fig. 9.44. : Raccordement circulaire

q

soit on impose un point de passage P pour ce raccordement, le franchissement d’un obstacle, rivière ou chemin de fer par exemple ; ce cas de figure a été traité de manière théorique au chapitre 5 du tome 2, paragraphe 3.5 et au chapitre 4 du tome 2, paragraphe 5.6. Le rayon R est alors calculé de sorte que le raccordement passe par P.

Dans le cas le plus courant, R est connu. Les alignements ST et ST′ étant aussi connus, on construit le point S d’intersection et l’on reporte les distances horizontales calculées ST et ST′ ; on procède ensuite au piquetage de plusieurs points de l’arc (voir § 5.4) ST = ST′ = R ⋅ cotan ( γ / 2 ) R SO = -------------------sin ( γ / 2 ) Si le centre O du cercle est accessible, on peut, le stationner et piqueter l’arc de cercle.

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Fig. 9.45. : Sommet S inaccessible

Si l’on ne peut pas construire le point S, non accessible, en raison de la présence d’un obstacle par exemple, on peut procéder ainsi (fig. 9.45.) : positionner les points A et B sur les alignements ST et ST′ de façon que le segment AB soit mesurable. Mesurer les angles α et β ainsi que la distance AB. Il reste à résoudre le triangle ASB et à en déduire les distances SA et SB. ainsi que l’angle γ entre les deux alignements : γ = 200 − α − β. On implante enfin T et T’ à partir de A et B et des distances suivantes :

AT = ST – SA BT′ = ST′ – SB avec R α+β Avec : DST = DST’ = -------------------- = R . tan  ------------   2  tan ( γ /2 )

Application Soit un raccordement simple Station Pt. visé HzCG (gon) HzCD (gon) Dh (m) de rayon R = 208,66 m entre A B 15,332 215,333 271,06 deux alignements droits ST et T 147,049 347,049 ST’ (fig. 9.45.). Le sommet S B T’ 87,145 287,146 est inaccessible. Un opéraA 205,616 5,616 271,08 teur stationne un théodolite en deux points A et B des alignements et effectue les mesures du tableau ci-dessus. Calculez les distances d’implantation des points de tangence T et T′. Réponse

q

q

q

Angle en A : BAT = [ (147,049 – 15,332) + (347,049 – 215,333) ]/2 = 131,717 gon ; d’où l’angle α = 200 – 131,717 = 68,283 gon. Angle en B : T′BA = [ (205,616 – 87,145) + (5,616 – 287,146) + 400 ] /2 = 118,471 gon ; d’où l’angle β = 200 – 118,471 = 81,529 gon. Résolution du triangle ABS : γ = 200 − α − β = 50,188 gon ; AB = 271,07 m ; SA = 366,24 m ; SB = 335,76 m. ST = ST′ =208,66 . cot(50,188 / 2) = 501,65 m ; donc DAT = 135,38 m et DBT = 165,86 m.



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Raccordements circulaires composés

Le raccordement est constitué de deux arcs de cercles consécutifs, tangents entre eux et dont les centres de courbure sont situés du même coté (fig. 9.46.). On peut écrire :

α1 + α2 + γ = 200

d1 = R1 . tan(α 1 /2) d2 = R2 . tan(α2 /2) S1 S2 SS 2 SS 1 ------------- = ---------- = ------------sin α 2 sin γ sin α 1 S1S2 = d1 + d2 ST1 = SS1 + d1 ST2 = SS2 + d2 T1T22 = ST12 + ST22 – 2.ST1.ST2.cos γ L Arc TT1 = R1 .α1 .π /200 L Arc TT2 = R2 .α2 .π /200 si α1 est en gon. si α2 est en gon.

Fig. 9.46. : Raccordement circulaire double

Plusieurs types de calculs sont menés suivant les données dont l’opérateur dispose. Les deux cas les plus courants sont envisagés ci-après (fig. 9.46.).



R1 et R2 , ST1 , (ou ST2 ) et γ sont connus

On utilise une construction intermédiaire (fig. 9.47.), à savoir le prolongement du cercle de centre O1 et de rayon R1 et la construction de S’T’ parallèle à ST2. On peut écrire : O1 T′ = R1 = O1 H + HH′ + H′T′ HH′ = R2 SS′ = R1.cot(γ /2) – ST1 O1 H = (R1 – R2).cos α2 H′T′ = SS′ . sin γ

Donc : R1 = (R1 – R2).cos α2 + R2 + [R1.cot(γ /2) – ST1 ].sin γ Par ailleurs : 1– cot(γ/2).sin γ = – cos γ ST 1 ⋅ sin γ – R 1 ⋅ cos γ – R 2 On en déduit que : cos α 2 = ----------------------------------------------------------R1 – R2

TECHNIQUES D’IMPLANTATION



Fig. 9.47. : Calcul du raccordement circulaire double

ST 2 ⋅ sin γ – R 2 ⋅ cos γ – R 1 Et, par analogie : cos α 1 = ----------------------------------------------------------R2 – R1 On vérifiera que α1 + α2 + γ = 200 gon. La distance d’implantation est : ST2 = S′T′ – S′P – T2H′ = R1.cot(γ /2) – [R1. cot(γ /2) – ST1 ].cos γ – (R1 – R2). sin α2 . Finalement : On peut enfin contrôler que : ST2 = R1.sin γ + ST1 .cos γ – (R1 – R2).sin α2 ST1 = R2.sin γ + ST2 .cos γ – (R2 – R1).sin α1

Ces formules ne sont valables que dans le cas de figure étudié. Elles devront être redémontrées à l’aide du même principe pour des configurations différentes.



R1 (ou R2), ST1 , ST2 et γ sont connus

En reprenant les équations démontrées au paragraphe 5.2.1 ci-avant, on écrit : [ R 1 ⋅ cot ( γ /2 ) – ST 1 ] sin γ  R 1 – R 2 = ------------------------------------------------------------  1 – cos α 2  ⇒ R 1 ⋅ sin γ + ST 1 ⋅ cos γ – ST 2  R 1 – R 2 = ---------------------------------------------------------------  sin α 2 

1 – cos α 2 R 1 ( 1 + cos γ ) – ST 1 ⋅ sin γ ----------------------- = --------------------------------------------------------------R 1 ⋅ sin γ + ST 1 ⋅ cos γ – ST 2 sin α 2



TECHNIQUES D’IMPLANTATION

ST 2 – R 1 ⋅ sin γ – ST 1 ⋅ cos γ α2 étant calculé, on peut en déduire R2 : R 2 = R 1 + --------------------------------------------------------------sin α 2

α 1 – cos α Par analogie, on obtient les équations de calcul de α1 et R1 avec -------------------- = tan  --- :  2 sin α R 2 ( 1 + cos γ ) – ST 2 ⋅ sin γ ST 1 – R 2 ⋅ sin γ – ST 2 ⋅ cos γ tan ( α 1 /2 ) = --------------------------------------------------------------- et R 1 = R 2 + --------------------------------------------------------------- . R 2 ⋅ sin γ + ST 2 ⋅ cos γ – ST 1 sin α 1



Raccordement circulaire triple

Le principe des calculs reste le même : comme dans le cas précédent, on procède par décomposition de la figure générale. Les données sont les suivantes :

q

q

soit les trois rayons R1 , R2 et R3 , deux des angles α1 , α2 ou α3 et une tangente ST1 , ST2 ou ST3 ; soit les trois rayons R1 , R2 et R3 , un des angles α1 , α2 ou α3 et deux tangentes ST1 , ST2 ou ST3 ; soit deux des trois rayons R1 , R2 ou R3 , deux des angles α1 , α2 ou α3 et deux tangentes ST1 , ST2 ou ST3.

q



Exercice

Cet exercice est extrait d’une l'épreuve du BTS travaux publics (session 1993). Les données sont les suivantes (fig. 9.48.) :

γ = 82,6480 gon I1 (58,612 m ; 543,234 m) I2 (489,598 m ; 512,769 m) R1 = 714,250 m α1 = 48,2590 gon

Calculez le rayon R2 , l’angle α2 ainsi que les distances d’implantation I1 -T1 et I2 -T2. Donnez les coordonnées des points dans le repère local dans lequel sont exprimés I1 et I2.

Fig. 9.48. : Exercice de raccordement double

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Résolution analytique Dans le triangle SI1I2, 200 − γ + α1 + α2 = 200 gon, donc α2 = γ − α1 = 34,3890 gon. R2 = I2T2.cotan(α2 /2)I2T2 = I2T = I1 I2 – I1 T et I1 T = R1.tan(α1 /2) R2 = [I1 I2 – R1.tan(α1 /2)] . cotan(α2 /2) = 533,086 m I1T1 = R1.tan(α1 /2) = 284,474 m I2T2 = R2.tan(α2 /2) = 147,588 m Les coordonnées des points sont obtenues à partir du gisement GI1I2 = 104,4926 gon. On calcule T à partir de I1 (ou I2) avec GI1I2 et I1T = 284,474 m (ou I2T = 147,588 m). On calcule T1 à partir de I1 avec GI1T1 = GI1I2 – α1 + 200 = 256,2336 gon. On calcule T2 à partir de I2 avec GI2T2 = GI2I1 + α2 – 200 = 138,8816 gon. On calcule O1 à partir de T1 avec GT1O1 = GT1I1 + 100 = 156,2336 gon. On calcule O2 à partir de T2 avec GT2O2 = GT2I2 – 100 = 238,8816 gon. Les résultats sont les suivants : O1 (292,015 m ; –189,297 m) ; O2 ( 304,789 m ; – 8,583m) ; T (342,378 m ; 523,176 m) T1 (–161,243 m ; 362,709 m) ; T2 ( 610,505 m ; 428,130 m) ; S (236,925 m ; 689,649 m) Résolution graphique L’environnement de travail est identique à celui du paragraphe 2.5. Dessin du segment I1 I2 : LIGNE↵ du point 58.612,543.234↵ au point 489.598,512.769↵. SCU↵ OBjet↵ Dernier↵ (changement de repère). Ligne I1 S: LIGNE↵ du point I1 (EXTrémité de...) au point @500 Lmini. On en déduit le rayon R2. Si le rayon R2 convient à ce type de route (R2 ≥ R2mini), la solution est acceptée ; sinon, on effectue à nouveau le calcul en modifiant la valeur du rayon R1 jusqu’à ce que la condition (R2 ≥ R2mini) soit satisfaite.

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Voir « ouvrages du SETRA » dans la bibliographie.



TECHNIQUES D’IMPLANTATION

Fig. 9.52. : Raccordements circulaires renversés



Application

Calculez les éléments d’implantation du raccordement (fig. 9.53.) ayant les caractéristiques suivantes : ST1 = 480 m, ST2 = 1000 m et γ = 70,000 gon. Le rayon du premier raccordement est R1 = 200 m. Solution En appliquant les formules des paragraphes 5.2.2 et 5.3.2, on trouve α2 = 92,5307 gon ; d’où α1 = 162,5307 gon (car dans cet exemple α2 = α1 − γ ) ; donc R2 = 408,064 m. Si l’on arrondit le rayon R2 à 408,00 m, on calcule de nouveau ST2 = 999,94 m. Résolution graphique (environnement de travail : voir § 2.5) Cercle de rayon R1 : CERCL