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cinématique du solide. La résultante est le vecteur instantané de rotation.

• Soit A un point affecté d'une masse m et d'une vitesse [pic]par rapport à un référentiel donné. Si l'on choisit un point P quelconque, on peut définir le torseur cinétique de A en P par :

[pic]. Ce torseur s'appelle le torseur cinétique de A. Sa résultante est la quantité de mouvement [pic]de A.

• On définit de même le torseur dynamique de A par le champ [pic]où [pic]est l'accélération de A. Si une force s'applique sur le point A, le principe fondamental de la dynamique énonce qu'il y a identité entre le torseur des forces et le torseur dynamique dans un référentiel galiléen (mécanique des solides).

• Le champ de moments nuls s'appelle le torseur nul. Il correspond à un champ de forces dans le cas statique.

• Un couple est un champ vectoriel uniforme, donc représenté par un torseur dont la résultante est nulle. Physiquement, il correspond à un torseur de forces dont la résultante est nulle.

• Un glisseur est un torseur dont le champ des moments s'annule en au moins un point. Le torseur d'une force appliquée en un point est un glisseur, le moment étant nul sur la droite servant de support à la force. Le champ des vitesses d'un solide en rotation est un glisseur. La vitesse est nulle sur l'axe de rotation. Pour un glisseur, on peut utiliser la notation [pic]où [pic]désigne la résultante et O le point d'application où le moment est nul.

• Formulation du Principe d'Archimède :

Le torseur des forces de pression est égal et opposé au torseur des forces de gravité dans le fluide considéré.

Propriétés des torseurs[modifier]

Équiprojectivité[modifier]

Soit un torseur de résultante [pic]et de moment [pic]en O. Son moment en P est [pic], de sorte que, en faisant le produit scalaire par [pic], on obtient :

[pic]

Cette relation s'appelle propriété d'équiprojectivité du champ. On montre que cette propriété est caractéristique des champs de torseurs. Autrement dit, si un champ de vecteurs est équiprojectif, alors il s'agit du champ des moments d'un torseur. C'est d'ailleurs la façon la plus fondamentale de définir un torseur.

L'équiprojectivité du champ des vitesses d'un solide indéformable est la propriété fondamentale décrivant le comportement cinématique de ces corps.

Cette relation est appelée aussi loi de transfert des moments puisqu'on obtient le moment du torseur au point P en utilisant celui en O tant que O et P appartiennent au même solide indéformable.

Axe d'un torseur[modifier]

Considérons un torseur de résultante [pic]non nulle. Alors on montre que les points P tels que [pic]soit colinéaire à [pic]forment une droite appelée axe central d'un torseur. Cet axe central existe et est unique pour tout torseur, sauf dans le cas particulier du couple et du torseur nul, où la résultante est nulle. Dans le cas d'un glisseur, les moments sur l'axe central sont nuls.

Pour le torseur cinématique d'un solide (dont les moments sont les vitesses des points du solide), la résultante est le vecteur instantané de rotation. Le mouvement du solide est en général la superposition d'un mouvement de rotation et d'un mouvement de translation parallèlement à l'axe de rotation instantané (vissage). Les points du solide en translation sont précisément les points de l'axe central du torseur cinématique.

Torseurs couramment utilisés en mécanique[modifier]

Torseur statique[modifier]

Article détaillé : Torseur statique.

Torseur cinématique[modifier]

Article détaillé : Torseur cinématique.

Torseur cinétique[modifier]

Article détaillé : Torseur cinétique.

La résultante du torseur cinétique est constitué de l'impulsion, du système. Son moment est le moment cinétique.

Torseur dynamique[modifier]

Article détaillé : Torseur dynamique.

Principe fondamental de la dynamique[modifier]

En mécanique du solide, le principe fondamental de la dynamique (PFD) est généralisé pour décrire le mouvement de tous les points d'un solide (ou d'un ensemble de solides), à travers le concept des couples qui peuvent agir sur un solide mais n'ont pas de contrepartie en mécanique du point. Le PFD s'énonce ainsi :

il existe un repère galiléen, tel qu’à tout instant, le torseur dynamique du solide dans son mouvement par rapport à ce repère est égal au torseur des forces extérieures agissant sur le solide.

Dans le cas particulier du point matériel (en assimilant le solide à sa masse rapportée en son centre d'inertie), le PFD se réduit à l'égalité des résultantes de ces torseurs, soit le principe fondamental de la dynamique de translation.

Exemple d'utilisation[modifier]

Soit une barre en équilibre, en appui sur l'un de ses points, de poids négligeable, et sollicitée par deux forces [pic](en un point A1 de la barre) et [pic](en un point A2). Soit O son point d'appui et soit R la force de réaction au point O.

D'après les lois de Newton, il faut pour que la barre soit en équilibre que la somme des forces et la somme des moments soient nulles. Donc,

[pic]

(torseur nul), ce qui équivaut à :

[pic]

et à (puisque [pic])

[pic].

De façon équivalente, au point A1,

[pic].

Autre acception[modifier]

Soit G un groupe. Un G-torseur (traduction littérale de l'anglais G-torsor) désigne un ensemble sur lequel G agit de façon transitive (une seule orbite) et sans fixer aucun point. Cela équivaut à "oublier lequel des éléments de G est l'unité". Un G-torseur et le groupe G associé sont donc le même ensemble, mais muni de structures différentes.

L'espace affine en est un exemple pour le groupe des translations spatiales: additionner deux points n'a aucun sens, leur différence par contre est un élément du groupe additif des translations, c'est-à-dire un vecteur. De même, les notes de la gamme dodécaphonique (avec identification des octaves) forment un G-torseur pour le groupe additif Z_12 des entiers mod. 12, les jours de la semaine pour le groupe Z_7, etc. La droite réelle et le groupe additif des réels sont un autre exemple: l'énergie d'un système physique n'est définie que modulo une constante arbitraire, mais les variations d'énergie sont des éléments du groupe R.

La fibre d'un fibré principal est un G-torseur.

Puissance générale[modifier]

De manière générale, tout solide en mouvement et subissant des efforts extérieurs peut être modélisé par 2 torseurs:

• Le torseur cinématique décrivant le mouvement du solide :[pic]

• Le torseur des efforts extérieurs ou torseur statique (S: le solide, E: l'extérieur) :[pic]

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