Mesures De Dispersion D'Une Série Statistique

st un nombre pair, la médiane est le centre de l'intervalle formé par les termes de rang et .

Remarque

Quand la série est regroupée par classes, on détermine la médiane graphiquement à partir de la courbe des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées.

3. Comment déterminer les quartiles d'une série statistique ?

• Soit une série statistique X de taille n.

Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des données soient inférieures ou égales à Q1.

Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 % des données soient inférieures ou égales à Q3.

L'intervalle interquartile est l'intervalle .

Le nombre s'appelle l'interquartile.

• Pour déterminer les quartiles Q1 et Q3, on procède un peu de la même façon que pour la médiane. On dresse la liste de toutes les valeurs de la série par ordre croissant, chaque valeur étant répétée autant de fois que son effectif.

Si est un entier p, Q1 est le terme de rang p et Q3 est le terme de rang 3p ;

Si n'est pas un entier, Q1 est le terme de rang immédiatement supérieur à et Q3 est le terme de rang immédiatement supérieur à .

Remarque

Comme dans le cas de la médiane, lorsque la série est regroupée par classes, on détermine les quartiles graphiquement à partir de la courbe des effectifs ou des fréquences cumulés.

4. Comment se transforment les paramètres d'une série lors d'un changement affine ?

Soit la série statistique de taille n suivante :

X x1 x2 … xp

Effectif n1 n2 … np n

On considère la série statistique . C'est-à-dire la série :

Y y1 y2 … yp

Effectif n1 n2 … np n

Où .

• En reprenant les notations précédentes, on a :

, et .

• Si sont respectivement la médiane, le 1er quartile et le 3e quartile de X et, si sont respectivement la médiane, le 1er quartile et le 3e quartile de Y, alors on a :

.

Et, si , alors et .

Mais, si a < 0, alors et .

5. Comment tracer un diagramme en boîte ?

On construit un diagramme en boîte de la façon suivante :

 sur un axe vertical ou horizontal, on repère les valeurs de la série statistique ;

 on place le minimum et le maximum de la série, le 1er quartile, le 3e quartile et la médiane ;

 on construit le rectangle (la boîte) parallèle à l'axe, de longueur l'interquartile et de largeur arbitraire.

Ce diagramme en boîte est aussi appelé diagramme à moustaches ou diagramme à pattes.

Exemple

Soit une variable statistique X dont le maximum est 55, le minimum 20, la médiane 38, le 1er quartile 32,5 et le 3e quartile 45. On construit alors le diagramme en boîte suivant :

À retenir absolument

Soit X une série statistique.

• La variance de X est .

• L'écart type de X est le nombre .

• Le premier quartile de X, Q1, est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des données soient inférieures ou égales à Q1.

• Le troisième quartile de X, Q3, est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 % des données soient

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