Le Dernier Jour d'Un Condamné

ssociation de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire de résistance équivalente Réq. • Association en série

Loi des branches : Loi d’Ohm : Il vient :

U = U1 + U2 + U3 U1 = R1I, U2 = R2I et U3 = R3I U = (R1 + R2 + R3)I = RéqI

En série, les résistances s’additionnent : R éq = ∑ R i

i

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• Association en parallèle

En parallèle, les conductances s’additionnent :

G éq = ∑ G i

i

ou

1 1 =∑ R éq i Ri

Cas particulier de deux résistances : R1 ⋅ R 2 R éq = R 1 // R 2 = R1 + R 2

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• A.N. R1 = 1 kΩ, R2 = 2,2 kΩ et R3 = 10 kΩ. Calculer RAB :

1 1 1 1 = + + R AB R 1 R 2 R 3 R AB = 643 Ω

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1-2-2- Diviseur de tension Le montage diviseur de tension permet de diviser une tension U en autant de tensions Ui qu’il y a de résistances en série Ri : U1 = R1I U2 = R2I U = U1 + U2 = (R1+R2)I La tension est proportionnelle à la résistance. d’où :

U1 R1 = U R1 + R 2

Formule générale :

U2 R2 = U R1 + R 2

Ri Ui = U ∑ Ri

i

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• A.N. Calculer la tension E :

8 E= ⋅ 9 = 7,2 V 2+8

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1-2-3- Diviseur de courant Le diviseur de courant divise un courant I en autant de courants Ii qu’il y a de résistances en parallèle Ri :

Gi Ii = I ∑Gi

i

- Cas particulier de deux résistances :

G1 R2 I1 = I= I G1 + G 2 R1 + R 2

R1 I2 = I R1 + R 2

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1-2-4- Théorème de Millman Le théorème de Millman est une traduction de la loi des nœuds. V1, V2, V3 et VA désignent les potentiels électriques aux points considérés. Loi des nœuds au point A :

V1 − VA V2 − VA V3 − VA + + + I'1 + I' 2 = 0 R1 R2 R3

V1 V2 V3 + + + I'1 + I' 2 R1 R 2 R 3 VA = 1 1 1 + + R1 R 2 R 3

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On peut aussi utiliser des tensions, à condition de les référencer par rapport au même potentiel (généralement la masse) :

Ui ∑ R + ∑ I' j i j i U= 1 ∑R i i

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• A.N. calculer la tension U :

U1 U 2 + R1 R 2 U= = 8,5 V 1 1 + R1 R 2

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2- Dipôles actifs

La caractéristique U(I) ne passe pas par l’origine. Un dipôle actif n’est pas symétrique et il faut distinguer ses deux bornes : il y a une polarité. • Exemples : - pile, photopile, dynamo (dipôles générateurs) - batterie en phase de recharge, moteur à courant continu (dipôles récepteurs)

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2-1- Dipôle actif non linéaire

La caractéristique U(I) n’est pas une droite. • Exemple : pile

E

en court-circuit

U

à vide

Fig. 7a

I U I + -

O

Icc

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A vide (I = 0 A) : U = E (≠ 0 V) E est appelée tension à vide ou fem (force électromotrice).

En court-circuit (U = 0 V) : I = Icc Icc est le courant de court-circuit :

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2-2- Dipôle actif linéaire

La caractéristique U(I) est une droite qui ne passe pas par l’origine. En convention générateur :

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• Résistance « interne » L’équation de la droite est :

E U =E− I I cc

U = E - RI avec R la résistance interne :

E R= I cc

Autre écriture :

∆U R=− ∆I

I = Icc – U/R

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• Modèle équivalent de Thévenin (modèle série) Un dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de tension continue parfaite E en série avec une résistance interne R :

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• Modèle équivalent de Norton (modèle parallèle) Un dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de courant continu parfaite Icc en parallèle avec une résistance interne R :

• Equivalence entre le modèle de Thévenin et le modèle de Norton Le passage d’un modèle à l’autre se fait par les relations :

E = R Icc

ou

Icc = E / R

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A.N. 1) Déterminer le MET, le MEN et la caractéristique U(I) du dipôle suivant :

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2) I = +1 A. Calculer U.

U = E – RI = 7 V

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3- Association de dipôles linéaires

• Exemple Considérons l’association : - d’une pile (fem 9 V , résistance interne 2 Ω) - et d’une résistance (8 Ω) :

Pour connaître le comportement de l’association, il suffit de déterminer la caractéristique U(I).

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1ère méthode : utilisation des lois de Khirchhoff On suppose que la pile a un comportement linéaire. On utilise son modèle de Thévenin :

I1 = I + I 2 (loi des noeuds)  (loi d' Ohm) U = 8I 2 U = 9 − 2I (loi des branches) 1 

d’où : U (V) = 7,2 – 1,6 I (A)

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Caractéristique U(I) : U (V) = 7,2 – 1,6 I (A)

On reconnaît la caractéristique d’un dipôle actif linéaire :

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2ème méthode : utilisation du théorème de Thévenin – Norton • Un circuit électrique ne comprenant que des dipôles linéaires se comporte comme un dipôle linéaire. • Conséquence : Si on calcule E et Icc (R s’obtient par E = RIcc) de l’association on obtient les modèles de Thévenin et de Norton et donc la caractéristique U(I).

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- Calcul de la tension à vide E :

Formule du diviseur de tension :

8 E= 9 = 7, 2 V 2+8

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- Calcul du courant de court-circuit Icc :

Loi des branches : 9 - 2Icc = 0 d’où : Icc= 4,5 A

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d’où :

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- Calcul de la résistance

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