TIPE les équations d’Einstein

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Thème TIPE:  Structures : organisation, complexité, dynamique

Présentation sous le thème

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Année Universitaire: 2015– 2016

[pic 3]INTRODUCTION

1) La mécanique relativiste :

Comment expliquer l’expérience de Michelson et Morley? La catastrophe Ultra-violette?

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De            à

2) L’équation d’Enstein :

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[pic 12]ETUDE MATHEMATIQUE

1) L’espace temps:

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- Fondé par Albert Einstein pour mettre en évidence sa théorie relativiste.

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• C’est un espace affine de dimension 4 isomorphe à noté

• Il est composé d’un espace concret et un axe représentant le temps et dont la base est

1. Le tenseur métrique:

- C’est une forme bilinéaire, symétrique, non dégénérée définie sur  vérifiant :

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- La matrice de g dans la base e est :        , et on pose  les composantes de la tenseur

-  est une distance infinitésimale ( intervalle espace-temps) de

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[pic 17]ETUDE MATHEMATIQUE

3) La métrique de Schwarzschild:

• L’espace-temps est statique        • L’objet massive a symétrie sphérique

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- L’équation d’Enstein simplifiée est:

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- Nous nous plaçons dans les coordonnées sphériques coordonnées donne dans l’espace de Minkowski :

• La constante Λ est nulle

Le changement des

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• La métrique recherchée vérifie :  

• Compte tenu des invariances :  

• La structure de l’espace temps dans le vide

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où        Le symbole de Christoffel ;   La dérivée partielle par

rapport à   et  est l’inverse de la matrice de

,

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ETUDE MATHEMATIQUE

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- Nous obtenons 4x4 équations ; après simplifications le système devient avec

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- Nous Obtenons après des calculs    puis        et

- Pour déterminer K et C, nous utilisons l’approximation des champs faibles  et on identifie avec la