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un arc de cercle de même rayon centré en E (fig. 9.1. à droite). Le contrôle est effectué en vérifiant que BP2 = BC2 + CP2.



Triangle rectangle

Les trois côtés a, b et c d’un triangle rectangle vérifient a2 = b2 + c2 (a étant l’hypoténuse). Cette relation est aussi vérifiée par les nombres suivants : 52 = 42 + 32. Donc, si l’on positionne un point D sur AB à 3 m de C, un point P de la perpendiculaire sera distant de 4 m de C et de 5 m de D. Cette méthode est aussi appelée « méthode du 3-4-5 ». Elle s’applique aussi pour des longueurs quelconques mais nécessite alors l’emploi de la calculatrice. D’autrea suites de chiffres possibles sont 102 = 82 + 62, 152 = 122 + 92, etc. (multiples de 3, 4 et 5).

Fig. 9.2. : Tracer une perpendiculaire au ruban

Pratiquement, si l’on dispose d’un ruban de 30 m, un aide maintient l’origine du ruban en D, un autre aide maintient l’extrémité du ruban en C et l’opérateur maintient ensemble les graduations 5 m et 26 m du ruban (fig. 9.2. à gauche). Si l’on ne dispose que d’un seul aide, on peut marquer au sol un arc de cercle de centre D et de 5 m de rayon et prendre l’intersection avec un arc de cercle de 4 m de rayon centré en C (fig. 9.2. à droite).



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On contrôlera que AP2 = AC2 + CP2. Remarque Ces méthodes permettent aussi d’abaisser le pied de la perpendiculaire à AB passant par un point C donné; il suffit de permuter les rôles des points C et P (fig. 9.3.). Ces méthodes ne sont valables qu’en terrain régulier et à peu près horizontal.

Fig. 9.3. : Abaisser une perpendiculaire





Avec une équerre optique

L’équerre optique est décrite au chapitre 8, paragraphe 2.3.5.

Mener une perpendiculaire depuis un point C de l’alignement AB

On place un jalon en A et en B (fig. 9.4.). L’opérateur se place à la verticale du point C avec l’équerre optique et aligne visuellement les jalons de A et B dans l’équerre. Ensuite, il guide le déplacement d’un troisième jalon tenu par un aide jusqu’à ce que l’image de ce jalon soit alignée avec les deux premiers. L’aide pose alors son jalon et obtient un point P de la perpendiculaire.

Fig. 9.4. : Équerre optique



Abaisser une perpendiculaire depuis un point C extérieur à AB

On dispose trois jalons sur A, B et C (fig. 9.5.). L’opérateur se positionne au moyen de l’équerre sur l’alignement AB en alignant les images des deux jalons de A et B puis se déplace le long de AB jusqu’à aligner le troisième jalon avec les deux premiers. Lorsque l’alignement est réalisé, il pose la canne à plomber et marque le point P, pied de la perpendiculaire à AB passant par C.

Fig. 9.5. : Équerre optique

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L’équerre optique peut s’utiliser en terrain accidenté et donne des résultats d’autant plus précis que les points sont plus éloignés.



Avec un théodolite ou un niveau équipé d’un cercle horizontal

Si le point donné C est sur l’alignement AB (fig. 9.4.), il suffit de stationner C, de viser A (ou B) et de pivoter l’appareil de 100 gon (ou 300 gon). Si le point C est extérieur à l’alignement AB (fig. 9.6.), une possibilité consiste à construire une perpendiculaire d’essai en stationnant un point M de l’alignement AB, choisi à vue proche de la perpendiculaire cherchée. L’opérateur mesure la distance d séparant la perpendiculaire d’essai et le point C et construit le point P sur AB en se décalant de la même distance d. Il obtient une précision acceptable en répétant l’opération deux ou trois fois.

Fig. 9.6. : Implantation au théodolite

Une deuxième possibilité est de stationner en B (ou en A) et de mesurer l’angle α = CBA. Il faut ensuite stationner sur C et implanter la perpendiculaire à AB en ouvrant d’un angle de 100 – α depuis B. Il reste à construire l’intersection entre l’alignement AB et la perpendiculaire issue de C (voir § 2.3). On contrôlera que AC2 = AP2 + PC2. Une troisième possibilité est de placer un point E au milieu de AB (fig. 9.7.) puis de stationner en C et mesurer les angles α1 et α2. On en déduit l’angle α à ouvrir sur le théodolite pour obtenir la direction perpendiculaire à AB en résolvant l’équation suivante : cos ( α 1 + α 2 + α ) sin α 1 ----------------------------------------- = ------------cos α sin α 2 L’inconvénient de cette méthode est que la résolution de cette équation ne peut s’effectuer que par approximations successives. La démonstration et la résolution de cette équation sont présentées au chapitre 5 du tome 2, paragraphe 11.

Fig. 9.7. : Implantation au théodolite



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Tracer une parallèle à un alignement existant

Étant donné un alignement AB, on cherche à construire une parallèle à AB passant par un point C ou à une distance d donnée de AB : le point C est alors positionné sur une perpendiculaire située à une distance d de l’alignement AB.



Tracé de deux perpendiculaires

L’opérateur construit au moyen d’une des méthodes traitées au paragraphe 1.1 le point P, pied de la perpendiculaire à AB passant par C, puis la perpendiculaire à CP passant par C : cette dernière est parallèle à AB (fig. 9.8. à gauche). Si l’on peut mesurer la longueur CP, on peut aussi reporter cette longueur sur une perpendiculaire à AB passant par B (ou A) : on obtient le point C′, et la droite CC′ est parallèle à AB (fig. 9.8. à droite). On contrôlera que PC′ = CB.

Fig. 9.8. : Tracé d’une parallèle



Parallélogramme

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. On peut utiliser ce principe et construire le point D au milieu de l’alignement CA (fig. 9.9.). On construit ensuite le point E en prolongeant DB (DB = DE). La droite CE est parallèle à AB puisque ABCE est un parallélogramme. Ceci peut aussi être fait à partir de points quelconques sur l’alignement AB. Le contrôle est effectué en vérifiant que la perpendiculaire à EC passant par A est de longueur d. Une construction équivalente peut être faite en se basant sur les propriétés des triangles semblables.

Fig. 9.9. : Tracé d’une parallèle



Angles alternes-internes

Si l’on dispose d’un théodolite, on peut stationner le point A et mesurer l’angle α = CAB. On stationne ensuite en C et on ouvre de l’angle α à partir de la ligne CA (fig. 9.10.) pour obtenir la direction CC′ parallèle à AB.

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Cette méthode, qui s’applique sur tout type de terrain, est certainement la plus précise. Pour implanter le point C situé à la distance d de AB, l’opérateur peut procéder par rayonnement : il se fixe une valeur arbitraire de l’angle α et en déduit que : dAC = ---------sin α

Fig. 9.10. : Tracé d’une parallèle

Par exemple :

AC = d / 2, pour α = 33,333 gon. AC = d / 2 , pour α = 50 gon.

On contrôlera que la perpendiculaire à CC′ passant par B est de longueur d. Remarque La troisième méthode du paragraphe 1.1.3 est également applicable (avec un angle α cherché diminué de 100 gon).



Alignement sécant à un alignement existant

On cherche à implanter l’alignement CD faisant un angle α avec l’alignement AB (fig. 9.11-1.) et situé à une distance h de A. 1 - Si l’on dispose d’un théodolite et que le point S est accessible, on prolonge AB jusqu’à S en reportant SA = h / sinα, puis on stationne S et on ouvre de l’angle (400 – α) depuis la direction SA vers SA′ (avec un éventuel double retournement).

Fig. 9.11-1. : Implanter un angle donné entre deux alignements

Après avoir construit A′, on contrôlera que AA′ = h.

2 - Si le point S est inaccessible, hors chantier par exemple, on peut stationner le point A et ouvrir de l’angle (300 – α) depuis

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