Introduction Aux Communications Numériques

ait connaître avant la transmission L’incertitude au niveau du récepteur s’est réduite quand l’information a été reçue. L’information est donc associée à la stochasticité/aléatoirité de l’événement. Exemples :

un événement déterministe ne contient aucune information un événement probabiliste en communications : un train binaire produit par un flux audio/vidéo, etc.

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Fonction mesurant l’information

L’information portée par l’événement scalaire S = s doit vérifier les propriétés intuitives suivantes : I(S = s) doit décroire de manière monotone quand la probablité P(S = s) augmente. I(S = s) = 0 quand P(S = s) = 1. I(S = s) doit être une fonction continue de P(S = s). Si deux événements indépendants S1 = s1 et S2 = s2 sont observés, alors l’information totale reçue vaut I(S1 = s1 ) + I(S2 = s2 ) ⇒ I(S = s) = − log2 (P(S = s)) = log2 1 P(S = s)

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Entropie (discrète)

Soit X une variable aléatoire discrète scalaire prenant les valeurs dans {x1 , · · · , xM }. On note pm = P(X = xm ). L’information contenue dans la v.a. X , nommée entropie, est la moyenne de celle présente dans chaque événement Entropie

M

H(X ) = Ex [I(X = x )] = −

m=1

pm log2 (pm )

Base 2 du logarithme : bits d’information par symbole de source émis (si X est un N-vecteur, alors H(X ) = Ex [I(X = x )]/N) Entropie ne dépend que de

M

p(x ) =

m=1

pm δ(x − pm )

La valeur sémantique de la source n’a aucune importance en théorie de l’information.

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Exemples

Source binaire : A = {0, 1} avec P(X = 0) = p et P(X = 1) = 1 − p. Alors H(X ) = −p log2 (p) − (1 − p) log2 (1 − p)

1 0.9 0.8 0.7 Entropie (bits/symbol) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Probabilite p 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Source quaternaire : A = {a, b, c, d} avec P(X = a) = 1/2, P(X = b) = 1/4, P(X = c) = 1/8 et P(X = d) = 1/8. Alors H(X ) = 1, 75

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Autres entropies

Entropie conjointe : soient X1 , · · · , Xn des variables aléatoires. H(X1 , · · · , Xn ) = −

x1 ∈A1

···

xn ∈An

p(x1 , · · · , xn ) log2 (p(x1 , · · · , xn ))

Entropie conditionelle H(Y |X ) est l’information présente dans Y une fois que X a été observée et est donc connue. H(Y |X ) = = −EX [

y ∈Ay

p(y |x ) log2 (p(y |x ))] p(x , y ) log2 (p(y |x ))

−

x∈Ax y ∈Ay

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Information mutuelle

Soit I(X ; Y ) l’information mutuelle qui correspond à l’information commune à X et Y . On peut montrer que I(X ; Y ) = H(X ) − H(X |Y )

.

H(X, Y )

H(X|Y ) H(Y |X) I(X; Y )

H(Y ) H(X)

.

Exemple : Si Y = X , alors I(X , Y ) = H(X ) Si Y et X ind., alors I(X , Y ) = 0

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Séquence typique

Soit X = [X1 , · · · XN ] un vecteur de variables aléatoires/séquence aléatoire i.i.d. d’entropie H(X ). Théorème Quand N → ∞, il y a approximativement 2NH(X ) valeurs probables de X sur les M N possibles. Exemple : Xn suit une loi binaire de paramètre p. Soit ζ l’ensemble des séquences composées de Np ’0’ et N(1-p) ’1’. La loi forte des grands nombres indique que seules ces séquences vont apparaitre On rappelle que n! ∝ (n/e)n pour n grand

N −(p log2 (p) Np card(ζ) = CN

+ (1 − p) log2 (1 − p))

H(X )

N! =2 = p!(N − p)!

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Théorème de la compression

dès que la séquence est grande, on ne rencontre que des séquences typiques. le nombre de séquences typiques est de 2NH(X ) chaque séquence typique est représentable par H(X ) bits par symbole Théorème Si le nombre de bits par symbole utilisé pour représenter la source est inférieur à H(X ), il y a nécessairement perte d’information (théorie de la distorsion). Dans le contrainte, une compression sans perte est théoriquement réalisable. Soit la source quaternaire de la planche 8. On envoie C(1) = 0 , C(2) = 10 , C(2) = 110 et C(3) = 111 . La longueur moyenne est de 1,75 bits par symbole.

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Capacité de canal (I)

Définition La capacité d’un canal est égal au nombre maximal de bits d’information par utilisation de canal offrant une communication fiable (sans erreur). A une valeur de l’émetteur X correspond 2NH(Y |X ) séquences typiques au récepteur Le récepteur admet 2NH(Y ) séquences typiques Par conséquent 2NH(Y ) /2NH(Y |X ) séquences de l’émission sont discernables au récepteur Or 2NH(Y ) /2NH(Y |X ) = 2N(H(Y )−H(Y |X )) = 2NI(X ,Y ) , ce qui implique que on peut émettre I(X , Y ) bits par symbole sans faire d’erreur.

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Capacité de canal (II)

Définition mathématique Soit C la capacité d’un canal, alors C = max I(X , Y )

p(X )

Théorème de la capacité Il existe un codage de taux d’information T et de longueur N tel que T < C pour lequel lim Pe = 0

N→∞

La limite fondamentale est le débit et non la performance Théorème non constructif (a priori entrelacement long nécessaire)

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• Exemple : canal BSC (I)

Canal binaire symétrique

.

1−p

’0’ ’0’

p p

’1’

...