Kjkljklj

−i = yi , soit L le polynôme de Rn [X] tel que ∀i ∈ 0, n , L(xi ) = yi . Ecrire L en fonction du polynôme P de Rk [X]tel que ∀i ∈ 0, k , P(x2 ) = yi . Montrer que L est pair. i Que peut-on dire de son degré ? 6 - Soit f : I → R une fonction définie sur l’intervalle I de R, et (n + 1) points distincts x0 , x1 , x2 , . . . , xn de I. Soit L le polynôme Rn [X] tel que : ∀i ∈ 0, n , L(xi ) = f(xi ). On dira que L interpole la fonction f aux points x0 , x1 , . . . , xn . Si a, b, x1 , x2 , . . . , xn sont (n + 2) réels distincts, montrer que si P interpole f aux points b, x1 , x2 , . . . , xn , et si Q interpole f aux points a, x1 , x2 , . . . , xn , alors le polynôme S défini par S(x) = interpole f aux points a, b, x1 , x2 , . . . , xn . DEUXIÈME PARTIE 1 , a désignant un réel strictement + a2 (x − a)P(x) − (x − b)Q(x) b−a

Dans toute cette partie, on considère la fonction f définie sur [−1, 1] par : f(x) = positif. Soit n ∈ N∗ . i On considère les réels xi définis par :∀i ∈ 0, n , xi = −1 + 2 . n

x2

On note Pn le polynôme de Rn [X] tel que ∀i ∈ 0, n , Pn (xi ) = f(xi ). Pn est le polynôme d’interpolation de f aux points x0 , x1 , . . . , xn . 1 - Montrer que si une fonction Ψ : [−1, 1] → R est de classe cn+1 et possède (n + 2) zéros distincts dans [−1, 1], alors la dérivée d’ordre (n + 1) s’annule dans ] − 1, 1[. En déduire que ∀x ∈] − 1, 1[, ∃c ∈] − 1, 1[/ f(x) − Pn (x) = (x − x0 ) . . . (x − xn ) On pourra considérer la fonction définie par : Ψ(t) = f(t) − Pn (t) − (t − x0 ) . . . (t − xn )A A désignant un réel convenablement choisi. 2 - Décomposer f en éléments simples sur C. Calculer la dérivée d’ordre n + 1 de f. 3 - Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], |(x − x0 ) . . . (x − xn )| ≤ 4 - En déduire que si a > 2n+1 (n + 1)! . nn+1 f(n+1) (c) . (n + 1)!

2 , la suite (Pn ) converge uniformément sur [−1, 1] vers f. e 2

TROISIÈME PARTIE On reprend les notations de la deuxième partie : f désigne la fonction f définie sur [−1, 1] par f(x) = 1 , où a est un réel strictement positif. x2 + a 2 2i . n

Pour n ∈ N∗ , Pn est le polynôme d’interpolation de f aux points x0 , x1 , . . . , xn définis par ∀i ∈ 0, n , xi = −1 +

On se propose d’étudier la convergence simple de la suite (Pn ) pour de petites valeurs de a. 1 - Dans cette question, on suppose que n est impair. Décomposer le polynôme (x2 + a2 )(f(x) − Pn (x)) en produit de facteurs irréductibles. On utilisera les résultats des questions 4 et 5 de la première partie. 1 2 - Dans cette question, x désigne un réel donné de ] , 1[. 2 2-1) Montrer qu’il existe un entier N tel que : ∀n ∈ N, n ≥ N ⇒ 1 1 1 − 0, ∃A ∈ N/ p ≥ A ⇒ ∀k ∈ 0, np , 2-2) Justifier l’existence et calculer l’intégrale :

1

1 k > 2. np np

k 1 ln x − np np

< ε.

I(x) =

−1

ln |x − u| du.

2-3) Soit (np ) une suite d’entiers impairs définies au 2-1). A chaque entier np , on associe les np + 1 réels xi définis par : ∀i ∈ 0, np , xi = −1 + On considère la suite Snp (x) = 2 np

np

2i . np

ln |x − xi |.

i=0

On note q l’indice tel que xq ≤ x < xq+1 . Quelles sont les limites de xq et xq+1 si np tend vers +∞ ? 3

2 En encadrant les deux réels np limite I(x) quand np tend vers +∞.

q−1

i=0

2 ln |x − xi | et np

np

ln |x − xi | par des intégrales, montrer que Snp (x) a pour

i=q+2

1 3 - Soit x un réel de l’intervalle ] , 1[ et (np ) une suite d’entiers impairs définie au 2-1) et associée au réel x. A chaque 2 np , on associe les np + 1 réels xi définis par ∀i ∈ 0, np , xi = −1 + 2 = np

np

2i . np

3-1) Quelle est la limite de la suite Σnp

ln(x2 + a2 ) quand np tend vers +∞ ? i

i=0

3-2) En utilisant les questions précédentes, déterminer la limite u(x) de la suite : unp (x) = 2 ln f(x) − Pnp (x) quand np tend vers +∞. np

3-3) Quelle est la limite l(a) de u(x) quand x tend vers 1 ? 3-4) Si l(a) > 0, la suite Pn converge-t-elle simplement vers f sur [−1, 1] ? QUATRIÈME PARTIE 1- Soit f : I → R une fonction définie sur l’intervalle I. On définit par récurrence les différences divisées : pour x ∈ I, f1 [x] = f(x) et pour x, y distincts dans I, f2 [x, y] = f(x) − f(y) . x−y

A l’aide de fn , on définit fn+1 : (n + 1) points distincts étant pris dans I, on les numérote x0 , . . . , xn . On pose alors : fn+1 [x0 , . . . , xn ] = fn [x0 , . . . , xn−1 ] − fn [x1 , . . . , xn ] . x0 − xn

Soit L le polynôme qui interpole f en x0 , . . . , xn . Montrer que le coefficient du terme de plus haut degré de L est fn+1 [x0 , . . . , xn ]. On utilisera la question