Théorème de Bézout

CHAPITRE  1

Théorème de Bézout.

Les deux nombres entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement

si il existe deux entiers relatifs non nuls u et v tels que au + bv = 1

La démonstration du théorème de Bézout est donnée en exercice (exercices 1.1 et 1.2).

Théorème de Gauss.

Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et c un entier relatif. Si a divise bc et si a est

premier avec b, alors a divise c.

Démonstration. Si a et b sont premiers entre eux, par le théorème de Bézout, 1.1.9, il existe

des entiers relatifs u et v tels que au+bv = 1. En multipliant cette égalité par c, on trouve :

acu + bcv = c.

On sait que a divise bc donc a divise acu + bcv. Par suite a divise bien c.

Inegalite triangulaire applicable que si x et y sont de meme signe

 Si x et y sont deux nombres réels, alors :|x| − |y|≤ |x − y|

Démonstration. Ce résultat est une conséqunce de l’inégalié triangulaire : pour tous a, b ∈

R,|a + b| ≤ |a| + |b|

Pour tout x, y ∈ R, on applique cette inégalité avec a = x − y et b = y.

Alors, |x| ≤ |x − y| + |y|, soit|x| − |y| ≤ |x − y|

On applique à nouveau l’inégalité triangulaire avec a = y − x et b = x.

Alors, |y| ≤ |y − x| + |x|, soit|y| − |x| ≤ |x − y|

Ces deux inégalités impliquent bien |x| − |y|≤ |x − y|

Propriété d’Archimède.

L’ensemble R des nombres réels est archimédien, c’est-à-dire que pour tout a ∈ R∗

+ et pourtout b ∈ R∗+, il existe n ∈ N∗ tel que na > b.

Démonstration. On procède par l’absurde : si na ≤ b pour tout n ∈ N∗, alors l’ensemble

A = {na | n ∈ N∗} est une partie de R non vide et majorée par b, elle admet donc une

borne supérieure α.

On a alors (n + 1)a ≤ α pour tout n ∈ N∗, ce qui entraine na ≤ α − a pour tout n ∈ N∗.

Le nombre α−a est donc un majorant de A strictement inférieur à α, ce qui est impossible.

Par suite, il existe bien un entier n ∈ N∗ tel que na > b.

CHAPITRE 2

1. Une suite convergente admet au plus une limite.

Démonstration. Supposons qu’une suite convergente (un)n∈N admette deux limites distinctes

l1 et l2. On se donne ε < |l2 − l1| 2 et on considére les voisinages de l1 et l2 dans R :

]l1 − ε, l1 + ε[ et ]l2 − ε, l2 + ε[.

Alors il existe N1 et N2 tels que :

si n > N1, alors un ∈]l1 − ε, l1 + ε[ et si n > N2, alors un ∈]l2 − ε, l2 + ε[.

On en déduit que si n > max{N1,N2}, alors on a à la fois :

un ∈]l1 − ε, l1 + ε[ et un ∈]l2 − ε, l2 + ε[.

Ceci n’est pas possible puisque ces intervalles sont disjoints.

On obtient donc une contradiction et la suite convergente (un)n∈N ne peut admettre qu’une

seule limite.

1. Toute suite convergente vers une limite l ∈ R est bornée.

Démonstration. Soit (un)n∈N une suite convergente vers l ∈ R. On se donne le voisinage

]l − 1, l + 1[ de l dans R. Alors il existe N ∈ N tel que pour n > N, un ∈]l − 1, l + 1[.

Posons m = inf{u0, u1, ..., uN, l − 1} et M = sup{u0, u1, ..., uN, l + 1}.

Alors, pour tout n ∈ N, m ≤ un ≤ M. Et la suite (un)n∈N est bien bornée.

1. Si une fonction admet une limite quand x → x0, celle-ci est unique.

Démonstration. Supposons qu’une fonction f admette deux limites distinctes l1 et l2 quand

x → x0. On se donne ε < |l2 − l1| 2 et on considère les voisinages de l1 et l2 dans R :

]l1 − ε, l1 + ε[ et ]l2 − ε, l2 + ε[.

Alors il existe W1(x0) et W2(x0) tels que :

si x ∈ W1(x0), alors f(x) ∈]l1 − ε, l1 + ε[ et si x ∈ W2(x0), alors f(x) ∈]l2 − ε, l2 + ε[.

On en déduit que si x ∈ W1(x0) ∩W2(x0), alors on a à la fois :