Produit Scalaire

| u + v | = x 2 + y 2 + x ¢ 2 + y ¢ 2 + 2 (x x ¢ + y y ¢ ) |u + v | = |u | + | v | + 2 u .v D'où l'expression 1.

® ® ® ® Supposons maintenant que u ¹ 0 et v ¹ 0 : ® ® ® ® 2 ® 2 ® 2 ® ®

Posons i =

u

®

. Soit j le vecteur tel que : ( i , j ) =

® ®

®

® ®

|| u ||

® p et || j || = 1. 2

Ainsi, nous avons ainsi construit une base ( i , j ) orthonormale directe. Dans cette base ( i , j ), on a, en notant q = ( u , v ) :

® ® ® ® ®

u (|| u |, 0), v (|| v | cos q, | v | sin q) et v ¢ (|| v | cos q, 0)

® ® ® ® ® ® ® ®

®

®

®

®

®

®

D'où :

® ®

u . v = | u | . | v | . cos q et u . v ¢ = | u | . | v | . cos q = u . v

® ®

D'où les expressions 2 et 3. Exemples : dans un repère orthonormé (O, i , j ) on donne A(1 ; 1), B(4 ; 1) et C(3 ; 3). ® ® Vérifier avec les quatre expressions du produit scalaire que AB . AC = 6.

® ® ® ® ® ® ® ® ® ®

Remarque : cas de vecteurs colinéaires : si u et v sont colinéaires, on a : u . v = | u | . | v | si u si et v sont colinéaires de même sens

® ® ® ®

u . v = -|| u | . | v | si u si et v sont colinéaires sens opposés.

Théorème 2

® ® ® ® ® ®

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul : u^ v Û u.v =0

Démonstration : d'après le théorème de Pythagore, on a les équivalences suivantes :

®

u et v orthogonaux Û | u + v | = | u | + | v |

®

®

® 2

® 2

® 2 Théorème 1

Û

2 u .v =0Û u . v =0

® ®

® ®

Expression 1

Illustration :

®

v

®

u+ v

®

®

u

Produit scalaire

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II) Propriétés du produit scalaire Symétrie : u . v = v . u

® ® ® ® ® ® ®

Bilinéarité (linéarité par rapport aux deux variables) : ( u + v ) . w = u . w + v . w et (l u ) . v = l u . v (linéarité par rapport à la première variable)

® ® ® ® ® ® ® ® ®

u . ( v + w ) = u . v + u . w et u . (l v ) = l u . v (linéarité par rapport à la seconde variable)

®

®

® ®

® ®

®

®

® ®

Démonstration : Symétrie : évident d'après la définition. Bilinéarité : notons (x ; y), ( x ¢ ; y ¢ ) et ( x ¢¢ ; y ¢¢ ) les coordonnées respectives de u , v et w . · ( u + v ) . w = (x + x ¢ ) x ¢¢ + (y + y ¢ ) y ¢¢ = x x ¢¢ + x ¢ x ¢¢ + y y ¢¢ + y ¢ y ¢¢ = x x ¢¢ + y y ¢¢ + x ¢ x ¢¢ y ¢ y ¢¢ = u . w + v . w · (l u ) . v = lx x ¢ + ly y ¢ + lz z ¢ = l(x x ¢ + y y ¢ + z z ¢ )

® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®

La symétrie livre la linéarité par rapport à la seconde variable. ® ® ® ® ® ® AB . BD - AC . BD = CB . BD

Exemple :

Application : retrouver, à l'aide du produit scalaire, le fait que les hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes. Notons A', B' et C' les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC), (AC) et (AB) et H = (BB') Ç (CC'). ® ® ® ® On a clairement : BH . AC = 0 et CH . AB = 0 ® ® ® ® On peut donc écrire : BH . AC = CH . AB ® ® ® ® ® ® A Introduisons le point A : ( BA + AH ). AC = ( CA + AH ). AB ® ® ® ® ® ® ® ® C' En développant : BA . AC + AH . AC = CA . AB + AH . AB ® ® ® ® ® ® ® ® B' Or : BA . AC = - AB . AC = AB . CA = CA . AB ® ® ® ® H Il reste : AH . AC = AH . AB ® ® ® B C En regroupant : AH .( AC - AB ) = 0 A' ® ® C'est-à-dire : AH . BC = 0. Les droites (AH) et (BC) sont donc perpendiculaires, donc (AH) est bien la hauteur issue de A. Donc les 3 hauteurs du triangle sont concourantes en A. Exercice : ABCD est un rectangle de centre O tel que AB = 4 et BC = 3. ® ® Calculer AC . DB . ® ® ® ® ® ® ® ® ® AC . DB = ( AB + BC ) . DB = AB . DB + BC . DB = AB2 - BC2 = 7.

D A B

O

C

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Règle pratique : pour calculer un produit scalaire, on peut décomposer un vecteur (ou les deux) suivants des directions orthogonales.

III) Identités remarquables Théorème 3 : (u+v ) = u +2u.v + v (u-v ) = u -2u.v + v

® ® ® ® ®2 ® ® 2 ®2 ® ® ® ® 2 ®2 ® ® ®2

®2 ®2

( u + v ).( u - v ) = u - v

Démonstration : évident. (On utilise la linéarité et la symétrie du produit scalaire) Applications : 1) Identité du parallélogramme : ( u + v ) + ( u - v ) = 2( u + v )

® ® 2 ® ® 2 ®2 ®2

® ® ® ® (Si ABCD est un parallélogramme, en posant u = AB et v = AD , on obtient une relation entre les diagonales et les côtés du parallélogramme : AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) ce qui est bien pratique) 2) Inégalité triangulaire : comme u . v  || u || . || v || (cos q  1), on a : || u + v ||2  || u ||2 + 2|| u || . || v || + || v ||2 D'où : || u + v ||2  (|| u || + || v ||)2 A 2 = |A|, on obtient :

® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®

Et comme la fonction racine carrée et croissante, et tenant compte de la relation || u + v ||  || u || + || v ||

® ® ® ®

IV) Applications du produit scalaire en géométrie 1) Formule d'Al-Kashi (XIVème) (dite encore de "Pythagore généralisé") Ù Soit ABC un triangle quelconque. On notera (par abus) cos A au lieu de cos A On a : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Démonstration : B a C c S A

b

® ® ® ® ® ® ® a2 = BC2 = BC 2 = ( BA + AC )2 = ( AC – AB )2 = AC2 + AB2 – 2 AC . AB = b2 + c2 – 2bc cos A

Application : solution du problème de motivation :

® ® BC2 = AC2 + AB2 – 2 AC . AB = 9 + 16 - 2 ´ 3 ´ 4 cos 70  16,79 d'où BC  4,10 (à 10-2 près)

Produit scalaire

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2) Équation d'une droite perpendiculaire à une autre :

® ®

Dans un repère orthonormé (O, i , j ), considérons donnée une droite (AB) avec A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Soit C(xC ; yC) un point distinct de A et B. Comment trouver une équation de la droite D perpendiculaire à (AB) et passant par C ? ® ® Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. On utilise la caractérisation