Les Suites

marques :

• Si [pic] est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme [pic] : [pic].

• Si [pic] est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme [pic] : [pic].

Exemple :

• La suite [pic] définie pour tout naturel n par [pic] est majorée par 1 et minorée par -1. Donc elle est bornée.

• La suite [pic] définie pour tout naturel n par [pic], n’est pas majorée donc elle n’est pas bornée. Mais elle est minorée par 0.

Théorème (admis) :

• Une suite croissante et majorée converge.

• Une suite décroissante et minorée converge.

Exemple :

[pic] est définie par [pic] et [pic] pour tout naturel n.

• Montrer que pour tout naturel n [pic].

➢ Par récurrence, montrons que [pic].

• [pic].

• HR : pour un certain naturel n, on suppose que [pic]. [pic] car [pic] par HR.

Donc pour tout naturel n, [pic].

➢ Par récurrence, montrons que [pic].

• [pic].

• HR : pour un certain naturel n, on suppose que [pic]. [pic]

HR

Donc pour tout naturel n, [pic].

• Montrer que [pic] est décroissante.

Comme [pic] pour tout n, on calcule [pic] car [pic]. Donc [pic] est décroissante.

• [pic] est minorée et décroissante donc elle converge. Mais le théorème ne dit pas vers quel réel.

Remarque :

Une suite convergente n’est pas nécessairement monotone.

Par exemple, considérons [pic] définie par : [pic] et, pour tout naturel n, [pic]. [pic] est géométrique et non monotone. Comme [pic] alors [pic] converge vers 0.

Théorème : Preuve 1

• Toute suite croissante non majorée, diverge vers [pic].

• Tout suite décroissante non minorée diverge vers [pic].

Théorème : Preuve 2

Soit [pic] définie par [pic] et pour tout naturel n, [pic].

Si [pic] converge vers l et si f est continue en l alors [pic].

Exemple :

Considérons [pic] définie par [pic] et, pour tout naturel n, [pic]. On a démontré que [pic] est décroissante et minorée par 0.

Donc [pic] converge vers l.

On pose [pic] sur +.

On doit résoudre [pic] i.e. [pic] i.e. [pic] i.e. [pic] i.e. [pic] ou [pic].

Or, pour tout n, [pic].

Donc [pic] donc [pic].

II – Suites adjacentes

Définition :

Dire que deux suites [pic] et [pic] sont adjacentes signifie que :

• L’une est croissante.

• L’autre est décroissante.

• [pic].

Remarque :

Supposons que [pic] croît et que [pic] décroît.

Montrons que, pour tout naturel n : [pic].

Supposons qu’il existe un entier k tel que [pic].

Comme [pic] est croissante alors pour tout [pic] : [pic].

Comme [pic] est décroissante alors pour tout [pic] : [pic].

Alors [pic]. Or [pic] : contradiction.

Donc, pour tout naturel n, [pic].

Exemple :

Pour [pic], on pose [pic] et [pic].

• [pic].

Donc [pic] donc [pic] est croissante.

• [pic]

[pic]

Donc [pic] est décroissante.

• [pic] donc [pic].

Donc [pic] et [pic] sont adjacentes.

Théorème : Preuve 3

Si deux suites sont adjacentes, alors