Marché Des Capitaux

es sur En est de dimension 1.

Travail 5.12 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et f une forme n-linéaire alternée non nulle définie sur En. Pour , montrer que la famille est liée si et seulement si .

Théorème-Définition 5.13 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n. Une base de E étant donnée, il existe une et une seule forme n-linéaire alternée f définie sur En, telle que . Pour , est appelé

déterminant de relativement à la base et se note

où tout simplement si le contexte est clair.

Travail 5.14 Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, et deux bases de E. Montrer que pour tout , on a

En particulier si , on a

Théorème 5.15 (Déterminant d'un endomorphisme )

Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E. Alors il existe un unique scalaire K tel que pour toute base de E on a

Ce scalaire s'appelle déterminant de u et est noté det(u).

Travail 5.16 Donner la preuve du théorème 5.15 ci-dessus.

Travail 5.17 Soient un K- espace vectoriel de dimension finie n, u et v deux endomorphismes de E. Prouver les énoncés suivants:

1.

2.

3.

Travail 5.18 Le plan affine réel étant identifié à , on se donne n points d'affixes respectifs ai(1 i n).

Etudier la possibilité de construire un polygone du plan affine, dont les Ai sont les milieux des côtés.

Travail 5.19 Résoudre dans 3 le système linéaire suivant où t est un paramètre:

Travail 5.20 a, b et c étant des paramètres réels soumis à la condition a+2b+c=0, résoudre dans 3 le système linéaire suivant:

Travail 5.21 Pour un entier n ( n 2) et A Mn(K), donner le rang de com(A) (la comatrice de A) en fonction de celui de A.

Travail 5.22 est un nombre réel fixé. n est un entier naturel ( n 2). Calculer le déterminant de la matrice définie par

Même question pour la matrice définie par