Analyse En Composantes Principales

és par une valeur fortement supérieure à la moyenne pour la variable xj.

De plus, pour faciliter l'interprétation des axes, on introduit la notion de contribution à l'axe. On définit la contribution de l'individu i à la composante ck par le quotient :

où est la ième coordonnée de la composante principale ck.

Par la formulation initiale de l'A.C.P. (minimalisation de l'inertie), un axe peut être assimilé à une droite de régression dans l'espace de départ, et donc comme passant " au plus près " de l'ensemble des points du nuage. Mais tous les points du nuage ne sont pas pour autant proches de l'axe. La contribution est un indicateur de cette proximité à l'axe. Ainsi, les individus ayant une bonne contribution (valeur numérique élevée) sont ceux qui sont le plus proche de l'axe et donc ceux qui attirent l'axe vers eux, qui favorisent la détermination de l'axe. Et par conséquent, c'est grâce à ces individus que l'on va pouvoir chercher à donner un sens à l'axe. Il faut bien voir que, dans la plupart des cas, ce sont les points extrêmes d'un axe qui ont la plus forte contribution pour ce dernier, ce qui est normal dans la mesure où ce sont eux qui donnent une forme particulièrement allongée au nuage suivant la direction de l'axe. Un bon moyen de caractériser l'axe rapidement est donc de classer les individus par ordre décroissant de contribution.

Il faut aussi s'assurer que la représentation des individus sur les plans principaux est de bonne qualité. Pour un individu ei, on mesure cette qualité à l'aide du cosinus de l'angle formé par le plan principal et le vecteur défini par l'individu ei. L'indicateur utilisé dans les logiciels est alors couramment noté cos². Idéalement, lorsqu'un individu est sur le plan factoriel, l'angle défini est alors nul, ce qui entraîne un cos² égal à 1. Au contraire, un individu orthogonal à chacun des axes du plan factoriel aura un cos² nul. Tous les individus occupant des positions intermédiaires entre ces deux extrémités auront un cos² compris entre 0 et 1, d'autant plus proche de 1 que l'individu est bien représenté par sa projection sur le plan.

En règle générale, les individus contribuant bien aux axes du plan y sont bien représentés. L'indicateur cos² est principalement à utiliser quand on veut interpréter les points centraux.

Enfin, dans certains cas, on peut gagner en richesse en utilisant des variables ou des individus en tant qu'objets supplémentaires. Les objets supplémentaires ne sont pas intégrés au tableau de données lors du calcul, mais peuvent être visualisés en même temps que les objets actifs lors de la représentation finale. Cette représentation simultanée permet de juger de leurs liens éventuels avec les variables de base. Lorsqu'un nombre restreint d'individus contribuent fortement à un axe (et donc suffisent à le déterminer à eux seuls), il peu être intéressant de relancer une analyse en les mettant en individus illustratifs, de telle sorte