Baccalauréat Serie S Nouvelle Calédonie

le [0 ; +∞[.

v(t )dt .

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L. Un concurrent tire au hasard un jeton : – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre P il effectuera le trajet à pied, , – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents. On observe que lorsqu’un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10% des cas. 1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation. Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième. 2. Calculer la probabilité qu’un concurrent effectue le trajet à vélo. 3. Sachant qu’un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu’il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? 4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres. L’expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d’avoir 2 effectué le trajet à vélo est . 3 Calculer la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent « non cycliste ». Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats u0 u n+1 = = 1 2 u n − ln u n + 1 pour tout entier naturel n. PARTIE A Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x − ln x 2 + 1 . 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f (x) ∈ [0 ; 1]. PARTIE B 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n 2. Étudier le sens de variation de la suite (u n ). 0, u n ∈ [0 ; 1]. 1. Résoudre dans R l’équation f (x) = x.

Soit (u n ) la suite définie par

3. Démontrer que la suite (u n ) est convergente. Déterminer sa limite.

Stéphane PASQUET

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ØØÔ »»ÛÛÛºÑ Ø Û º Ö

Exercice 4 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct O; i , j , k . On considère les points A(−2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) et C(−2 ; 2 ; 2). 1. (b) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle BAC. (c) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x − y + 2z + 2 = 0. 3. Soient P 1 , et P 2 les plans d’équations respectives x + y − 3z + 3 = 0 et x − 2y + 6z = 0. (a) Calculer le produit scalaire AB · AC puis les longueurs AB et AC.

#» #» #»

#» #»

4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection. 5. Soit S la sphère de centre Ω(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3. (a) Donner une équation cartésienne de la sphère S . Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. (b) Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D. (c) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S .

Montrer que les plans P 1 et P 2 sont sécants selon une droite D dont un système d’équations paramé  x = −2 y = −1 + 3t , t ∈ R. triques est  z = t

Stéphane PASQUET

3

ØØÔ »»ÛÛÛºÑ Ø Û º Ö

C ORRECTION

Exercice 1. Commun à tous les candidats PARTIE A : R.O.C. 1. u est solution de (E) si u ′ = au + b. b Or, au + b = a × − a + b = −b + b = 0 et u ′ = 0 (car u est une fonction constante). Ainsi, u est bien solution de (E). 2. On part de l’hypothèse : « f − u solution de y ′ = a y ». f − u solution de y ′ = a y ⇐⇒ ( f − u)′ = a( f − u) ⇐⇒ f ′ − u ′ = a f − au ⇐⇒ f ′ − u ′ = a f + b ⇐⇒ f ′ = a f + b car u ′ = 0 ⇐⇒ f solution de (E)

3. La question précédente signifie que toutes les solutions f de (E) sont telles que ( f − u) est de la forme K eax , où K ∈ R. b Ainsi, les solutions de (E) sont les fonctions f (x) = K eax − , K ∈ R. a PARTIE B 1. Nous avons : 10v ′ (t ) + v(t ) = 30 ⇐⇒ v(t ) = K e 10 t + 30 d’après le résultat de la partie A

1 ⇐⇒ v ′ (t ) = − 10 v(t ) − 3

1

Or, nous savons que v(0) = 0, donc K e0 + 30 = 0, soit K = −30. Ainsi : t v(t ) = 30 1 − e− 10 2. (a) La fonction t → − t t est décroissante sur [0; +∞[. Ainsi, la fonction t → e− 10 est décroissante (comme 10 composée d’une fonction décroissante et d’une fonction croissante). t Donc t → −e− 10 est croissante sur [0; +∞[. En ajoutant 1 et en multipliant par 30, on ne change pas le sens de variation donc v est croissante sur [0; +∞[.

t →+∞

(b)

lim e− 10 = 0 car lim ex = 0. Ainsi, lim v(t ) = 30.

x→−∞ ′ t →+∞

t

t

3. On doit ici résoudre l’inéquation v (t ) ≤ 0, 1.

v ′ (t ) ≤ 0, 1 ⇐⇒ 3e− 10 ≤ 0, 1 t ⇐⇒ e− 10 ≤ 0,1 3 1 t ⇐⇒ − 10 ≤ ln 30 ⇐⇒ t ≥ −10 × (− ln 30) ⇐⇒ t ≥ 10 ln 30 ⇐⇒ t ≥ 34, 01 Ainsi, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée est 35 secondes.

Stéphane PASQUET

4

ØØÔ »»ÛÛÛºÑ Ø Û º Ö

4. On a :

0

35

v(t )dt = 30

35 0

1 − e− 10 dt

t

t

35 0 35 0

v(t )dt = 30 t + 10e− 10

35 0

v(t )dt = 30 35 + 10e−3,5 − 10

35 0

v(t )dt ≈ 759

Ainsi, la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes est 759 mètres. Exercice 2. Commun à tous les candidats

1. L’arbre pondéré correspondant à cette situation est le suivant : Ω

0, 25 0, 25 0, 25 0, 25

V

R

P

0, 7

L

0, 2 0, 1

V

R

P

2. Un concurrent effectue le trajet en vélo s’il tire le jeton « V » ou s’il tire le jeton « L » et qu’il choisisse ce mode de transport. Ainsi, la probabilité qu’il fasse le trajet à vélo est : P (V ) = 0, 25 + 0, 25 × 0, 7 = 0, 25 + 0, 175 = 0, 425 La probabilité est donc égale à 0,425. 3. La probabilité pour que le concurrent ait tiré un jeton « L »sachant qu’il a effectué son trajet à vélo est : P V (L) = P (L ∩ V ) 0, 25 × 0, 7 = ≈ 0, 412 P (V ) 0, 425

4. Posons X la variable aléatoire représentant le nombre d’épreuves remportées par un concurrent non cycliste. 1 X suit alors une loi binomiale de paramètre n = 6 et p = : X → B 6; 1 . 3 3 La probabilité qu’au moins une épreuve ait été remportée par un non cycliste est : P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 2 6 0 p (1 − p)6 = 1 − 0 3

6

≈ 0, 912

Ainsi, la probabilité pour qu’au moins une épreuve soit remportée par un non cycliste est de 0,912.

Stéphane PASQUET

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