Mbaye Boye
Mémoire : Mbaye Boye. Rechercher de 53 000+ Dissertation Gratuites et Mémoirestes [0 ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 16[ [16 ; 20[ Effectifs 3 8 23 13 3 Effectifs Cum. Crois. 3 11 34 47 50
2. Histogramme des effectifs cumulés croissants
3. Notes Effectifs Centres de classes [0 ; 4[ 3 2 [4 ; 8[ 8 6 [8 ; 12[ 23 10 [12 ; 16[ 13 14 [16 ; 20[ 3 18
Soit M la moyenne des notes obtenues par les élèves : M= M=10,4
Exercice 3 a = 2− 1. a + b = 2−
3 2 2
et
b=
1 3 2+4
1 3 2 4−3 2 1× (3 2 − 4) 4−3 2 3 2 −4 4−3 2 3 2 −4 + = = + = + = + 2 2 2 2 2 2 2 (3 2 + 4)(3 2 − 4) (3 2) − 4 3 2+4
4−3 2 +3 2 −4 =0 2
a +b = 0 donc : a et b sont opposés.
2.
A=
(1 − 2 2) 2 + ( 2 − 2) 2 − 18
A = 1 − 2 2 + ( 2 − 2) 2 − 18 Etudions le signe de 1 − 2 2 : 12 =1; 2 2
(
) =8.
2
1 < 8 donc : 1 2 < 2 2
(
)
2
1 > 0 ; 2 2 >0 et 1 2 < 2 2
(
)
2
donc : 1 < 2 2
1 1
2 2 5 × 1,415
5× 1,414 > 5
(Lorsqu’on multiplie les deux membres de l’inégalité par un même nombre négatif l’inégalité change de sens) 7,07 > 5 5 7,07>5 5 2,07 >5 5 2,075 < 5 5 2,08 < 5 5
2 > 7,075 2 > 5 7,075 2 > 2,075 2 < 2,07 2 < 2,07
2,08 < A < 2,07
3. f(x) = 5x2 20 7 ( 3x 7 6) (4x 7 3) a. Factorisons f(x) : f(x) = 5x2 20 7 ( 3x 7 6) (4x 7 3) = 5(x2 – 4) 7 ( 3) (x – 2) (4x 7 3) = 5(x2 – 22) 3 (x – 2) (4x 7 3) = 5(x – 2) (x 7 2) 3 (x – 2) (4x 7 3) = (x – 2) [5(x 7 2) 3 (4x 7 3)G = (x – 2) (5x 7 10 12x 9) = (x – 2) ( 7x 7 1) f(x) = (x – 2) (1 7x)
Autre méthode : Développons les deux expressions. f(x) = 5x2 20 7 ( 3x 7 6) (4x 7 3) =5x2 20 12x2 9x 724x 718 Autre méthode : Système d’équations (x f(x) = 7x2 715xéquivaut à : – 2) (1 7x) H 0 2 f(x) = (x – 2) (1 7x) = x 7x2 –2 714x f(x) = 7x2 715x 2
Les x − 2 ≤ 0 formes développées sont identiques donc : f(x)= (x – 2) (1 7x) x−2≥0 (I ) ou ( II ) 1 − 7 x ≥ 0 = (x – 2) (1 1 − 7 x ≤ 0 f(x) 7x)
b. f(x) H 0 (x – 2) (1 7x) H 0 Méthode des tableaux de signes tableaux (x – 2) (1 7x) H 0 Cherchons les valeurs de x qui annulent chaque facteur. x 2=0 x= 2 1 7x= 0 7x= 1 x=
−1 1 = −7 7
Cherchons le signe de chaque facteur. x 2D 0 xD2 1 7x D 0 7xD 1 x>
−1 −7 1 7
x>
x x 2 1 7x (x 2) (1 7x)
∞ 7
7∞
0 7 0 0 7 0
1 S =G ∞ ; G ∪ [ 2; +∞[ 7
système d’inéquations ystèmes in Méthode des systèmes d’inéquations (x – 2" (1 7x) H 0 équivaut à :
x−2≤0 (I ) 1 − 7 x ≥ 0
ou
x−2≥0 ( II ) 1 − 7 x ≤ 0
(Le produit de deux réels est négatif si les deux facteurs sont de signes contraires)
x − 2 ≤ 0 (1) (I ) 1 − 7 x ≥ 0 (2)
(1) : x 2 H 0 xH2 (2) : 1 7x I0 7x I 1 xH
S1 = ]−∞; 2 ]
−1 −7 1 7
xH
1 S 2 = −∞; 7
∞
7∞
1 S I = S1 ∩ S 2 = ]−∞; 2 ] ∩ −∞; = 7
1 −∞; 7
1 S I = −∞; 7
x − 2 ≥ 0 (3) ( II ) 1 − 7 x ≤ 0 (4)
(3) : x 2I 0 xI2 (4) : 1 7x H0 -7x H 1 xI
S3 = [ 2; +∞[
−1 −7 1 7
xI
1 S4 = ; +∞ 7
∞
7∞
1 S II = S3 ∩ S 4 = [ 2; +∞[ ∩ ; +∞ = [ 2; +∞[ 7
S II = [ 2; +∞[
1 S = S I ∪ S II = −∞; ∪ [ 2; +∞[ 7
1 S =G ∞ ; G ∪ [ 2; +∞[ 7
Exercice 4 1.
1 −4 AB et BC . [1 × ( 4)G 7 [2 × 2G = 4 7 4 = 0 donc : AB N BC . 2 2
AB N BC donc : ABC est un triangle rectangle en B.
Autre méthode :
1 −4 −3 AB ; BC ; AC . 2 2 4
AB2 +BC2 =
AB =
12 + 22 = 5 ; BC =
( −4 )
2
+ 22 = 20 ; AC =
( −3)
2
+ 42 = 25 = 5
( 5) + (
2
20
)
2
= 5 + 20 = 25
et
AC2 = 52=25 donc : AB2 +BC2 = AC2
AB2 +BC2 = AC2 donc, d’après la réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. BD = AB ; BD
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