Chauffage

6 3)Loi de Stefan..................................................................................................................6 4)Application numérique...................................................................................................6 B.Chauffage de la plaque............................................................................................................7 1)Expérience 1: chauffage d'une plaque mince.................................................................7 2)Expérience 2: chauffage d'une plaque épaisse...............................................................8 Thermomètre à cristaux liquides........................................................................................................10 I.Diffraction (un miroir).................................................................................................................10 II.Interférences (plusieurs miroirs).................................................................................................11 III.Interférences (cristaux liquides)................................................................................................12 IV.Matériau utilisé (cristaux liquides)............................................................................................13

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Chauffage et traitement thermique d'une plaque

Le chauffage suivi d'un refroidissement rapide d'une plaque d'acier ou « trempe de l'acier » assure l'augmentation de la dureté en surface de la plaque. Données numériques générales: vitesse de la lumière dans le vide: perméabilité magnétique du vide: permittivité absolue du vide: constante de Stefan: Données numériques pour l'acier: conductivité électrique: =6.106 S.m−1 =7850 kg. m−3 c=640 J.kg −1 . K −1 =46 W.m−1. K −1 grandeurs apparaissant dans l'équation de Fourier, relatives à l'acier : c=3.108 m.s−1 0=4 .10 H.m  0= 1 0 c 2

−7 −1

 St =5,67 .10−8 W.m−2 . K −4

I. L'induction dans un conducteur

Un milieu conducteur (acier) de conductivité  s’étend dans le demi-espace z 0 . À l’extérieur du conducteur, le champ magnétique est uniforme variant sinusoïdalement dans le B temps:  =B0 cos t u y (voir figure 1 ). 

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A. Propriétés des champs dans le conducteur 1. Écrire les quatre équations de Maxwell dans ce conducteur ohmique. On ne fera intervenir que la densité de courant volumique   M , t , le champ magnétique  M , t , le densité B j volumique de charge  M , t (et les constantes: c , 0 ,  ). 2. On se place en régime sinusoïdal, on associe alors à toute grandeur dépendant du temps un complexe en exp [i t ] . Réécrire les équations de Maxwell entre   M , t   M , t B j  M , t en simplifiant les dérivées partielles par rapport au temps. 3. En déduire que  M , t est nul. 4. En partant des équations écrites précédemment, trouver à quelle condition on peut négliger le courant de déplacement devant le courant de conduction? Montrer que la condition peut s'écrire sous la forme ≪1 . Donner l'expression de  et son unité. Calculer sa valeur numérique. Vérifier que l'approximation proposée est valable si la fréquence du champ utilisée est inférieure au MHz. 5. Écrire les équations de Maxwell entre   M , t   M , t ,valables dans la suite du problème, B j dans le milieu conducteur, quand on fait  M , t=0 et quand on néglige le courant de déplacement. Justifier qu'il n'y plus que deux équations de Maxwell indépendantes et donner leur nom. 6. On cherche dans le conducteur une solution de ces équations de la   z , t= B z , t u y = B' 0 exp [i t−k z ] u y , où B ' 0 et k peuvent être complexes. B   forme

j • Déterminer la forme que doit alors prendre la densité de courant   z , t en utilisant une 0 ). équation de Maxwell (réponse en fonction de k , B  z , t  , • Établir, grâce à l’autre équation de Maxwell, l'expression de k 2 en fonction de 0 ,  ,  . B. Cas du conducteur infini Le conducteur occupe tout le demi-espace z 0 ( figure1 ). 1) Détermination de B et j 7. Déterminer les deux expressions possibles de k . Justifier qu'il faille choisir k = 1−i ,   étant une grandeur dont on donnera l'expression en fonction de 0 ,  ,  . Donner pour k une seconde expression en utilisant la notation exponentielle pour le complexe.

8. Rappeler l'équation de passage pour  en z =0 . Montrer que B ' 0=B 0 . B  9. Établir les expressions réelles B  z , t et   z , t (utiliser la notation  pour exprimer ces j résultats). L'une des grandeurs est en cosinus et l'autre fait intervenir un sinus. 10.Préciser l'unité de  . Quel nom donne-t-on à cette grandeur  . Expliquer. 11.Application numérique: calculer  pour le conducteur considéré, pour les fréquences f 1=100 Hz et f 2=125 kHz . 3/40

G.P. 2) Détermination de ϕ surfacique reçu

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12.Donner l'expression de la puissance volumique

dP J apparue par effet Joule dans le d conducteur ; déterminer sa valeur moyenne dans le temps, mettre en évidence que cette valeur moyenne est proportionnelle à  .

13.Exprimer la puissance moyenne dans le temps P J  apparue par effet Joule dans un cylindre d’axe parallèle à Oz , de longueur infinie et de section S , découpé dans le conducteur (voir figure 1 ). 14.En déduire la puissance thermique 0 (on considère en fait la puissance moyenne dans le temps) reçue par le conducteur, de la part du champ électromagnétique, par unité de surface extérieure. On écrira la réponse sous la forme 0 =K S B 2  et l'on précisera l'expression de 0 KS . 15.La connaissance de   z=0 , t et   z=0 , t  permet d'exprimer le vecteur de Poynting B j   z=0 , t . Déterminer   z=0 , t . Comparer à 0 . Commenter.   16.Application numérique: calculer 0 pour la fréquence f 2=125 kHz et pour un champ magnétique extérieur d’amplitude B0 =0,5T . 3) Autre détermination de ϕ surfacique reçu 17.Quel est le courant élémentaire d I qui traverse un rectangle élémentaire (voir figure 2 )  parallèle au plan yOz , de côtés élémentaires dy et dz , orienté selon u x ? (On utilisera la notation complexe et on exprimera le résultat en fonction de k , B  z , t , 0 ) 18.Déterminer le courant total I =I 0 exp i  t qui traverse un ruban de largeur  y=l s’étendant sur toute la profondeur du conducteur  z ∞ . Exprimer I 0 en fonction (éventuellement) de 0 ,  , l , B0 . Commenter.

figure 2

19.On envisage ici que le cas où ce même courant I =I 0 exp i t serait uniformément réparti sur une épaisseur  . 4/40

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• Quelle serait alors l'expression de la densité volumique de courant j ' = j ' 0 exp i  t , le courant étant nul en tout point en dehors de la couche d'épaisseur  . • Exprimer ' 0 , la puissance thermique moyenne apparue par effet joule dans le conducteur par unité de surface extérieure dans le cadre de cette hypothèse. Comparer ' 0 et 0 . Commenter. C. Plaque conductrice d’épaisseur finie Le conducteur est maintenant compris entre les deux plans z =0 et z =2 a . Il est d’extension infinie dans les directions Ox et Oy . À l’extérieur, de part et d’autre de la plaque, le champ B magnétique s’écrit toujours  =B0 cos  t u y .  1) Détermination de B 20.Montrer s'écrire   z , t=[C exp k 0 z D exp −k 0 z] exp i  t u y avec k 0= 1i . B   que   z , t  dans B la plaque peut maintenant sous la forme

21.Préciser les nouvelles conditions aux limites. 22.Après calculs, on trouve pour le champ magnétique dans le conducteur l'expression suivante ch [k 0  z −a ]   z , t= B0 B expi t  u y , la fonction ch u étant définie de manière usuelle  ch[ k 0 a ] 1 u −u par ch u=  e e  . Montrer que cette expression vérifie les conditions aux limites et les 2 symétries du problème. 2) Détermination de j 23.En utilisant l'équation de Maxwell appropriée, en déduire l’expression de la densité de courant volumique  z , t  . j 24.La plaque conductrice étudiée a pour section S et pour épaisseur 2a avec ici 2a ≪ ce qui revient à écrire ∣k 0 a∣≪1 . Justifier que l'on peut