Physiques MPSI - Notations indicielles

- Notations indicielles

L’espace est rapporté à un repère orthonormé de vecteurs unitaires ki , i = 1,2,3. Les

composantes d’un vecteur A sont notées i A , i = 1,2,3 ; celles d’un tenseur d’ordre 2 A sont

désignées par ij A , i = 1,2,3 et j = 1, 2,3, l’ordre des indices étant celui ligne colonne.

- Sommation d’Einstein

Tout indice figurant deux fois dans tout groupement multiplicatif implique sommation sur cet

indice. Celui-ci est donc « muet » et contracte d’un rang l’ordre de l’expression considérée.

Cette expression est donc celle du produit scalaire des deux vecteurs A et B . L’indice

« muet » (i) n’a qu’un sens opératoire de sorte que le produit scalaire en question peut tout

aussi bien se noter j j A B .

Par contre, i j A B a la dimension d’un tenseur d’ordre 2 , chaque indice i et j étant libre, ce

qui signifie qu’il doit prendre chaque valeur 1, 2 et 3 .

Enfin, la convention de sommation sur indice « muet » sera étendue à tout indice de ce type

figurant dans un opérateur de dérivation partielle.

Et représente donc le produit contracté à droite du tenseur dérivée spatiale du vecteur A par

le vecteur B . Le résultat est donc bien un vecteur comme l’atteste la présence d’un seul

indice libre, i en l’occurrence.

- Symbole de Kronecker

Il correspond au tenseur unité d’ordre 2 noté ij d , i = 1,2,3 et j = 1, 2,3.

Expressions des opérateurs vecto-tensoriels en notation

indicielle

Dans la suite, ( ) 1 2 3 f x , x , x est une fonction scalaire de l’espace, ( ) 1 2 3 A x , x , x , ( ) 1 2 3 B x , x , x

des fonctions vectorielles, ( ) 1 2 3 T x , x , x une fonction tensorielle d’ordre 2 .

Identités vectorielles usuelles

Dans les relations suivantes, f , p et q sont des fonctions scalaires du point courant M , A

et B des fonctions vectorielles de ce même élément.

grad(p + q) = grad(p)+