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ier à toute fonction de répartition G (x) un nombre P c tel que : P c = H [G (x)].

Si G λ(x) et la fonction de répartition associer à λ tel que : Pr = H [G λ (x)], mais elle est partiellement ou complètement inconnu et donc P r du paramètre λ est impossible à déterminer. Ce qui implique que les compagnies sont obligées de réclamer une prime collectif P c même si elle devra la modifier ultérieurement en fonction de la sinistralité. Les rapports existant entre P r et P c : Pour se faire, on doit déterminer la structure du risque collectif, en même temps nous devons assimiler λ à une variable aléatoire. Pour étudier sa distribution nous supposons que λ est une variable aléatoire de fonction de répartition U (λ), cette dernière va nous informé sur la distribution de λ dans Λ. La distribution S est alors liée aux distributions S λ par la relation : ���� (����) = ∫Λ �������� (���� ) ��������(����) Et donc G (x) est appelé distribution pondérée des montant de sinistre. Principes classiques de calcul de la Prime : La prime pure pour un risque λ c’est l’espérance mathématique de S λ, il est cependant indispensable à la compagnie de demander plus que la prime pure. En effet l’assureur fait face à des fluctuations aléatoires inhérentes à tout processus stochastique, le montant du sinistre peut donc s’écarter de sa moyenne. L’assureur devra aussi de prémunir contre l’imprécision des estimateurs statistiques. La prime réclamer par l’assureur est donc supérieure à la prime pure et cela afin de compenser les risques du processus stochastique et de l’imprécision des estimateurs. 1. Principe de l’espérance mathématique : La prime réclamée à l’assuré est égal à l’espérance mathématique du risque augmenté d’un chargement de sécurité et donc on obtient : Pour la prime de risque : Avec µ(λ) est l’espérance mathématique du risque cela implique que : ℙ(����) = ����(����) + ���� ����(����) = ����(����)(1 + ���� ) ���������������� ���� > 0 Tandis que pour la prime collectif : ℙ = ���� + ���� ���� = ����(1 + ���� ) ���������������� ���� > 0 ���� (����) = � �������� (���� ) ��������(����)

Λ

����(����) = � ���� ������������ (���� ) ���� = � ���� �������� (���� )

0 ∞ 0

Mais l’on a aussi :

Et donc on obtient :

0 Λ

Ce qui est en réalité la moyenne des moyennes individuel.

���� = � � ���� ������������ (����) ��������(����) = � � ���� ������������ (���� ) ���� ����(����) = � ����(����) ��������(����) = �������� [����(����)]

Λ 0 Λ

Le principe de l’espérance mathématique est quasiment toujours utilisé dans les assurances vie. 2. Principe de la variance : Pour une compagnie d’assurance une distribution des sinistres avec grande dispersion est beaucoup plus dangereuse qu’une distribution de même moyenne et de moindre dispersion, car la probabilité d’un sinistre y est très supérieure à la prime d’où le chargement de sécurité exiger par rapport à un paramètre de dispersion. Et donc pour la prime de risque on a :

0

ℙ(����) = ���� (����) + ��������� 2 (����)� ���������������� ���� > 0 Et pour ce qui est de la prime collectif : ���� = � � (���� − ���� (����) + ����(����) − ����)2 ������������ (���� ) ��������(����)

2 ∞

���� ����) = � [���� − ����(����)]2 ������������ (���� ) ���� = � (���� − ����)2 �������� (���� )

2

2(

Mais :

= � � (���� − ����(����) + ����(����) − ����)2 ������������ (���� ) ��������(����)

Λ 0 ∞ Λ 0 Λ 0 Λ Λ ∞ 2 2 Λ 0 ∞ Λ 0 Λ 0 ∞ ∞

= � � ����� − ����(����)� ������������ (����) ��������(����) + � � (����(����) − ����)2 ������������ (���� ) ��������(����) = � ���� 2 (����) ��������(����) + � � (����(����) − ����)2 ������������ (���� ) ��������(����) = � ���� 2 (����) ��������(����) + � ���� 2 �����(����)� ��������(����) ����² = �������� ����� 2 (����)��������� ����� 2 �����(����)��

Λ Λ 0 ∞

= � � ����� − ����(����)� ������������ (����) ��������(����) + � � (����(����) − ����)2 ������������ (���� ) ��������(����) + 2 � (����(����) − ����) �� ����� − ���� (����)� ������������ (���� )� ��������(����)

0 ∞

Λ

ℙ = ���� + ����(���� 2 )

0

Le principe est assez peut populaire en assurance vie.

Ce principe est le plus utilisé en assurance non-vie .si la distribution de S est dite normale (Gaussienne), ce qui en réalité est rare même impossible alors il y la même probabilité pour tout risque que les sinistres dépassent la prime. 3. Principe de la semi-variance

2 :����+ 2 2 ���� 2 = � (���� − ����)2 �������� (���� ) = ����+ + ����− ∞

La prime est égale à l’espérance du risque augmenté d’un chargement proportionnel à son écart-type. ℙ(����) = ����(����) + ��������� 2 (����)� ���������������� ���� > 0 ℙ = ���� + ����(���� 2 )

4. Principe de la probabilité de Ruine La prime est déterminée de manière à ce que la probabilité de ruine ne dépasse pas un certain niveau α déterminé à priori. min ℙ ���������������� ���������������������������������������� ������������ ∶ Avec ℝ∗ réserve de la compagnie d’assurance, Et : ℝ = ℝ∗ + ℙ ����(���� > ℝ∗ + ℙ) ≤ ���� ∞ Ou : ∫ℝ∗+ℙ �������� (���� ) = ���� ∞ Ou bien aussi :∫ �������� (���� ) = ���� ℝ

2 On prend seulement en considération le ����+ c’est pour cela que la prime devient : 2 ℙ = ���� + ����(����+ )

Avec

=

0 ∞ ∫���� (����

2 − ����)2 �������� (���� ) et ����− = ∫0 (���� − ����)2 �������� (���� ) ����

Les propriétés de ces principes Ils peuvent êtres additifs ou itératifs : • Additifs : si la prime afférente de deux risques indépendants. Un principe de calcul des primes est additif si la prime de deux risques indépendants est égale à la somme des primes de ces risques. Le principe de l’Esperance mathématique et de la variance sont additifs tandis que les autres principes ne le sont pas. • Itérativité : il existe deux manières de calculer la prime collective I. Appliquer le principe de calcul à la fonction de répartition de S en une seule fois pour compenser le risque de processus stochastique. II. Appliquer

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