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x 2) = 2 ln x ; c) Pour tout entier naturel n, ln (x n ) = ln ( x n–1) + ln (x) = ln (x n–2) + ln (x ) + ln x = …. = n ln (x) ; 1 1 1 1 ) = ln 1, donc ln ( x × ) = 0, d'où ln x + ln ( ) =0, soit ln ( ) = – ln x ; d) ln ( x × x x x x x 1 1 e) ln ( ) = ln (x × ) = ln (x) + ln ( ) = ln x – ln y ; y y y 1 f) Pour tout entier naturel n, ln ( n ) = ln(x– n) = – n ln x . x Bilan : pour tous nombres réels a et b strictement positifs on a : ln ( ab) = ln a + ln b ; a ln ( ) = ln a – ln b ; b 1 ln ( ) = – ln a ; a ln a n = n ln a pour tout entier relatif n ; 1 n ln ( a ) = ln a pour tout entier naturel n. n 3. Limite et logarithme népérien Résoudre les équations : n ln 2 > 100 , n ln 2 >1 000 , ln 2 n > 10 9. Peut on avoir ln x plus grand qu’un milliard ? Peut–on avoir ln (x ) inférieur à un milliardième ? On en conclut que :

x

lim ln x = +

et

lim ln x = – .

x 0

4. Logarithme népérien et (in)équations La fonction ln est strictement croissante et varie de – à + . On est donc sûr par exemple que l’équation ln (x) = 10 admette une solution ( voir graphique ) on a donc la propriété suivante : Pour tout réel m , il existe un et un seul nombre x tel que ln x = m. En particulier la solution de l’équation ln x = 1 est le nombre e . On a e 2 , 718 .

Le fait que la fonction ln soit strictement croissante sur ]0; + [ implique : Pour tous réels a et b strictement positifs, on a : ln a = ln b équivaut à a = b, et ln a ≤ ln b équivaut à a ≤ b.

...

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