Démonstration

e e seconde (s) Amp`re (A) e

On cherche ` d´terminer la dimension de RC : a e τ

× Or ÖI × ÖQ× u ÖT × d’o` τ ÖT RC est donc homog`ne ` une dur´e. e a e

RC

τ

¢

ÖQ× ÖU × ÖQ× ÖI ×

τ

ÖQ× ÖI ×

ÖT ×

III. R´ponse du dipˆle RC ` un ´chelon de tension : ´tablissement des ´quations e o a e e e diff´rentielles e

Cas de la charge d’un condensateur :

On r´alise le circuit RC suivant (le condensateur est initialement d´charg´) : e e e

On cherche ` mod´liser l’´quation diff´rentielle de la charge du condensateur. a e e e ]Mise en ´quation diff´rentielle : e e A t=0, on ferme l’interrupteur K On a la relation Uc Ur E. dq On sait que Ur Ri et que i . dt dq D’o` Ur R . u dt De plus, on a la relation q C ¢ Uc . Donc Ur dC ¢ U c dUc Ur RC car C est constante. dt dt dUc Uc E. On a finalement l’´quation suivante : RC e dt R

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Puis en divisant le tout par RC, on obtient : dUc Uc E RC RC dt Solution de l’´quation diff´rentielle : e e La solution de cette ´quation diff´rentielle est : Uc ÔtÕ e e ]V´rification : e

¡ ¡t © E 1 ¡ e RC .

¡t dUc 1 ¡t dUc 0 ¢ Ô1 ¡ e RC Õ E ¢ e RC dt RC dt Uc E ¡t E E ¡t E dU c RC RC RC RC e ¡ RC e dt RC RC La solution est juste.

En ce qui concerne l’intensit´ : e dUc dq On a la relation i soit i C dt dt

E ¡t e RC RC

En remplacant Uc par son expression, on trouve que E ¡t iÔtÕ e RC R

Cas de la d´charge d’un condensateur : e

On r´alise le circuit suivant (le condensateur est initialement charg´) : e e

Mise en ´quation diff´rentielle : e e On a la relation Uc Ur 0. En proc´dant exactement de la mˆme mani`re pour la tension aux bornes de la r´sistance durant la charge, e e e e on trouve que l’´quation diff´rentielle est : e e duc uc RC 0. dt Solution de l’´quation diff´rentielle : e e La solution de cette ´quation diff´rentielle est : Uc ÔtÕ e e V´rification : e ¡t ¡t ¡t Ee RC dUc Ee RC Ee RC dt ¡ RC 0. RC RC La solution est juste. En ce qui concerne l’intensit´ : e dUc dq soit i C On a la relation i dt dt En remplacant Uc par son expression, on trouve que ¡t ¡E e RC iÔtÕ R

¡t Ee RC .

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IV. R´solutions graphiques des tensions du condensateur et intensit´ dans le e e circuit

Tension du condensateur intensit´ du courant pendant la charge en fonction du temps : e

La constante τ du circuit RC caract´rise la vitesse de la charge du condensateur. e Il y a 3 m´thodes pour la retrouver. e 1er : On utilise la relation τ RC

2`me : On trace la tangente ` l’origine.τ est l’absicsse de l’intersection entre la tangente et la droite E. e a

¡t 3`me : Pendant la charge, on a U cÔtÕ E Ô1 ¡ e τ Õ. e Quand t τ , on a U cÔτ Õ 0, 63E Lorsque t τ , la tension du condensateur a atteint 63% de la tension du g´n´rateur (E). e e 5τ , la tension du condensateur a quasiment atteint E Apr`s de brefs calculs, on peut voir que lorsque t e (quasiment car la droite E est asymptote horizontale ` la courbe). a

On peut aper¸evoir une discontinuit´ au temps t=0. c e

Tension du condensateur et intensit´ du courant pendant la d´charge en fonction du temps : e e

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La constante τ du circuit RC caract´rise la vitesse de la charge du condensateur. e Il y a 3 m´thodes pour la retrouver. e 1er : On utilise la relation τ RC

2`me : On trace la tangente ` l’origine. τ est l’absicsse de l’intersection entre la tangente et l’axe des abscisses. e a 3`me : Pendant la d´charge, on a U cÔtÕ e e Quand t τ , on a U cÔτ Õ 0, 37E

Ee

¡t

τ

e e Lorsque t τ , la tension du condensateur a atteint 37% de la tension du g´n´rateur (E) Apr`s de brefs calculs, on peut voir que lorsque t 5τ , la tension du condensateur a quasiment atteint 0. e (quasiment car l’axe des absicsses est asymptote horizontale ` la courbe). a

On aper¸oit