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4 Fonctions d’une variable r´elle e 4.1 Limite et continuit´ . . . . . . . . . . e 4.2 Propri´t´s de la limite d’une fonction ee 4.3 Propri´t´s des fonctions continues . . ee 4.4 Fonctions d´rivables . . . . . . . . . e 4.5 Propri´t´s des fonctions d´rivables . . ee e 4.6 Application aux suites r´elles . . . . e 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 5 D´veloppements limit´s e e 5.1 Comparaison de fonctions . . . . 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . 5.3 Calcul de d´veloppements limit´s e e 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . .
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4 6 Fonctions classiques 6.1 Fonctions bijectives . . . . . 6.2 Logarithme et exponentielle 6.3 D´veloppements limit´s . . . e e 6.4 Fonctions trigonom´triques . e 7 Corrig´ des exercices e Remerciements.
` TABLE DES MATIERES 63 63 63 65 66 69
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Merci ` Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten a pour les exercices de TD. Merci ` Michele Bolognesi pour la r´daction de quelques corrig´s d’exercices. a e e Merci ` Ivan Babenko pour la preuve de l’irrationnalit´ du nombre d’Euler. a e
Chapitre 1 Les nombres r´els et complexes e
1.1 Nombres rationnels
On d´signe par N l’ensemble des entiers naturels e N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Comme chaque entier naturel n admet un successeur n + 1, on se convainc sans peine que N est un ensemble infini. On note N∗ l’ensemble N \ {0}, c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels non a nuls. ´ Etant donn´ deux entiers naturels x et y on sait d´finir les nombres e e x + y, x − y, x · y et x , si y = 0. y
On remarque que l’addition et la multiplication sont des op´rations qui ont leur r´sultat dans N. e e Par contre le r´sultat d’une soustraction ou d’une division n’est pas toujours un entier naturel. e On cr´e ainsi de nouveaux nombres e Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}, l’ensemble des entiers relatifs — on notera Z∗ = Z \ {0} — et Q= a b | a∈Z et b ∈ Z∗ ,
a b
l’ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction et b, n ∈ Z∗ . On a bien entendu les inclusions suivantes N⊂Z⊂Q
avec
a·n b·n
pour tout a ∈ Z
et les quatre op´rations ´l´mentaires +, −, · et / peuvent s’´tendre ` l’ensemble Q des nombres e ee e a rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´s s’exprimaient par des nombres e rationnels. Ils se sont aper¸u que ce n’est pas toujours le cas. En effet on peut construire des c nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´rons par exemple un triangle ABC rectangle en A e 5
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C
´ CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES
b
a
A
c
B
Si on note a la longueur du segment BC, b celle de CA et c celle de AB, alors le th´or`me de e e Pythagore dit qu’on a la relation a2 = b 2 + c 2 . √ Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d’un carr´ de cˆt´ b = c = 1 est ´gale ` a = 2. e oe e a Proposition 1.1.1 Le nombre √ 2 n’est pas un nombre rationnel.
D´monstration. √ e Nous allons faire une d´monstration par l’absurde. 1 e √ Supposons que 2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifs a, b tels que 2 = a/b. Si a et b sont pairs, on peut simplifier la fraction a/b par 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o` au moins un√ deux entiers a ou b est impair. u des e a En ´levant au carr´ l’´galit´ 2 = a/b et en chassant le d´nominateur, on arrive ` e e e e 2b2 = a2 . Donc a2 est
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