La Proportionnalité

EFG de même diagonale que ABCD

La longueur AG est la solution

[pic]

Problème

Quelle(s) représentation(s) graphique(s) est-elle (sont-elles) associée(s) à la proportionnalité ?

[pic]

|Cas 1 |blanche |5 |35 | |7 fois |

| |verte |3 | | | |

| | | | | | |

|Cas 2 |blanche |7 |35 | |5 fois |

| |verte |4 | | | |

| | | | | | |

|Solution 1 | | | | | |

|Cas 1 |blanche |5 |35 | | |

| |verte |3 |21 | | |

| | | | | | |

|Cas 2 |blanche |7 |35 | | |

| |verte |4 |20 | | |

| | | | | | |

|Solution 2 | | | | | |

|Cas 1 |blanche |5 |1 | | |

| |verte |3 |3/5 |0,60 | |

| | | | | | |

|Cas 2 |blanche |7 |1 | | |

| |verte |4 |4/7 |0,57 | |

| | | | | | |

|Solution 3 | | | | | |

|Cas 1 |blanche |5 | | | |

| |verte |3 |3/8 |0,38 | |

| |mélange |8 |1 | | |

| | | | | | |

|Cas 2 |blanche |7 | | | |

| |verte |4 |4/11 |0,36 | |

| |mélange |11 |1 | | |

| | | | | | |

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|Nombres de vaches |6 |18 |18 |

|nombres de jours |30 |30 |180 |

|Volume de lait |4000 |12000 |72000 |

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Apports théoriques

1. Définitions

Deux suites de nombres réels ayant le même nombre de termes sont dites proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la première à chaque terme correspondant de la deuxième par un opérateur multiplicatif.

2. Exemples

| |6 |10 |14 |20 |26 |34 |x 3/4 |

| |4,5 |7,5 |10,5 |15 |19,5 |26,5 | |

3.

Définition

L’opérateur est appelé coefficient de proportionnalité

Ici c’est 3/4

| |6 |10 |14 |20 |26 |34 |x 3/4 |

| |4,5 |7,5 |10,5 |15 |19,5 |26,5 | |

mais on a aussi

| |4,5 |7,5 |10,5 |15 |19,5 |26,5 |x 4/3 |

| |6 |10 |14 |20 |26 |34 | |

et donc

|x 4/3 |6 |10 |14 |20 |26 |34 |x 3/4 |

| |4,5 |7,5 |10,5 |15 |19,5 |26,5 | |

On peut résumer ce tableau par la donnée de l’unique coefficient sous une forme algébrique

[pic]

Ici l’opérateur est décimal, mais il peut-être entier, décimal, rationnel non décimal, ou réel non rationnel

(Pour le tableau précédent [pic] Ici l’opérateur est rationnel non décimal)

On nomme cette fonction, fonction linéaire (revoir construire le graphe d’une fonction linéaire)

La deuxième suite est appelée l’image de la première : ainsi, on dira que 4,5 est l’image de 6, que 15 est l’image de 20 (par opposition 6 est l’antécédent de 4,5)

http://www.ac-grenoble.fr/lycee/log/presentation/disciplines/maths/lectgrph.htm

L’image est donnée par la multiplication par le coefficient de proportionnalité

Remarque

Les suites présentées sont croissantes pour faciliter la lecture, mais ce n’est pas obligatoire

4. Propriétés numériques des suites proportionnelles

a. Propriété

l’image de zéro est zéro

b. Propriétés relatives à l’ordre

si le coefficient de proportionnalité est positif, la proportionnalité respecte l’ordre mais une fonction qui respecte l’ordre n’est pas forcément une situation de proportionnalité

|6 |10 |14 |20 |26 |34 |

|15 |23 |31 |43 |55 |71 |

c. Propriété additive de linéarité

Exemple sur la situation de proportionnalité

|6 |10 |14 |20=6+14 |26 |34=20+14 |x 3/4 |

|4,5 |7,5 |10,5 |15=4,5+10,5 |19,5 |25,5=15+10,5 | |

Ce qui se traduit par,

l’image de 20=6+14 est l’image de 6 + l’image de 14= 4,5 + 10,5= 15 ou encore

l’image d’une somme est la somme des images

Remarque : ce qui permet de ne pas utiliser le coefficient si celui-ci n’est pas de valeur simple

|2 |4 |6 |8 |14 |22