Infini

’est intéressé aux ensembles infinis. La notion-clé de sa démarche est la bijection. Regarde ce que j’ai imprimé.

Bijection

Le visage de Yannick s’éclaire.

Je vois ! On peut transformer les naturels, en multipliant chacun par deux, pour obtenir les nombres pairs. On ne détruit rien, donc on en a autant avant de multiplier par deux, qu’après avoir multiplié par deux, et il y a donc autant de nombres naturels que de nombres pairs. Je vois, mais je n’aime pas ça.

Annick reprend

On considère un groupe d’amis dans lequel il y a trois filles et quatre garçons. Si on veut former des couples pour le bal de fin d’année, il y a toujours un garçon qui n’est pas jumelé. On dit que les ensembles ne peuvent être mis en bijection. Jean Si Émilie se joint au groupe, il y aura autant de garçons que de filles. On pourra alors former des couples de telle sorte que chaque fille soit associée à un garçon et réciproquement. Il y a alors bijection entre les deux ensembles.

Magali Noémie Solène

15

Christian Mathieu Samuel Jean Christian Mathieu Samuel

C’est là où j’en suis. L’infini, c’est gros comment ? Est-ce qu’il y a vraiment des infinis plus grands que d’autres, ou est-ce qu’il y a un seul infini ?

Le lendemain matin, toujours à la cafétéria

Annick

J’ai fait une recherche sur Internet à propos de l’infini. Mon dessin d’hier allait dans le sens des idées de Cantor.

Yannick

Cantor a utilisé cette notion pour comparer des ensembles infinis. On dit que deux ensembles ont la même cardinalité s’il est possible de définir une bijection entre les deux ensembles. Ainsi, l’ensemble des naturels est de même cardinalité que l’ensemble des nombres naturels pairs.

Magali Noémie Solène Émilie

Annick

Cantor ?

1

1. Voir note historique sur Cantor en page 25 du volume 1 d’Accromath.

Tu vois, mon diagramme d’hier est en plein ce qu’il faut. Cantor dirait que les deux ensembles ont la même cardinalité. Il est possible de définir une bijection entre l’ensemble des nombres naturels et celui des nombres pairs !

Vol. 2 • hiver – printemps 2007

DossierL’infini

Yannick Yannick

Bon, alors, tous les infinis sont pareils ! Une bonne chose de réglée…

Annick

Spécial, on a une bijection entre et et pas de formule, juste un dessin. Je ne pensais pas qu’on faisait cela en mathématiques.

Pas du tout! Il y a des infinis plus grands que d’autres. Cantor a désigné par infini dénombrable un ensemble infini pour lequel on peut définir une bijection avec l’ensemble des nombres naturels. Cantor a démontré que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable, mais que l’ensemble des réels, lui, ne l’est pas. Regarde un autre diagramme que j’ai imprimé.

Vol. 2 • hiver – printemps 2007

La cloche sonne

Yannick

Bon, infini ou pas, on va être en retard au cours. On finit ça là pour ce matin.

Annick

Yannick, intéressé cette fois

Attends, je pense que je comprends. En suivant le chemin indiqué par les flèches, il associe un nombre naturel et un seul à chaque nombre rationnel. C’est ça ? Mais pourquoi il n’y a rien d’écrit à côté de 2/2 ?

Attends un peu. Je voulais te montrer un dernier diagramme. Cantor a démontré que l’ensemble des nombres réels de l’intervalle ]0, 1[ n’est pas dénombrable. Mais je n’ai pas tout compris.

Yannick

Si tu n’as pas tout compris, pourquoi est-ce qu’on n’irait pas voir Alexandra ce midi ? Elle serait surprise…

Annick

Dénominateur

1 2

3

4

5

6

D’accord !

Numérateur

16

1 2 3 4 5 6

1/11 1/2 3 2/12 2/2 3/15 3/2 7 4/16 4/2 5/1 5/213 11 6/1 6/2 12

1/3 4 2/3 8 3/3 5/3 6/3

Annick

1/4 9 2/4 3/415 5/4 6/4

1/510 1/6 17 2/516 2/6 3/5 4/5 5/5 6/5 3/6 4/6 5/6 6/6

Le midi, avec Alexandra, la prof de maths

Annick

J’ai cherché sur Internet et j’ai trouvé l’argument de la diagonale de Cantor. Peux-tu nous expliquer ça ?

Alexandra, estomaquée

4/314 4/4

Impressionnant. Vous vous intéressez à l’infini? Voyons un peu le diagramme.

Yannick

C’est Annick qui a tout trouvé. Moi, je suis spectateur…

Alexandra

Il ne faut pas répéter 2/2, c’est la même chose que 1/1. Alors, les nombres rationnels qui, une fois simplifiés, donnent un nombre déjà associé sont laissés de côté. En poursuivant ainsi, chaque nombre rationnel est associé à un et un seul nombre naturel. L’ensemble des rationnels est donc dénombrable. Tous les nombres rationnels peuvent aller au bal accompagnés d’un nombre naturel.

Regardez, la diagonale s’étend à l’infini et en prenant les chiffres sur celle-ci, on peut

L’infini, c’est gros comment ? | Frédéric Gourdeau • Université Laval

Yannick

J’obtiens 0,5452768..., mais je ne sais pas où on va…

Alexandra

Nombres naturels

former un nombre qui est un développement décimal illimité. Pour illustrer, supposons que ce nombre soit 0,3452768… Yannick, tu vas modifier ce nombre en changeant ses chiffres un par un. Disons que si un chiffre est différent de 5, tu le changes pour un 5, et si ce chiffre est 5, tu le changes pour un 2. Change d’abord le premier chiffre, qu’est-ce que tu obtiens?

L’argument de la diagonale de Cantor

Cantor a démontré que Nombres réels l’ensemble des nombres de l’intervalle ]0; 1[ réels de l’intervalle ]0,1[ ne 1 0, peut être mis en bijection 2 0, avec l’ensemble des nombres 3 0, naturels. Afin de démon4 0, trer cela, il suppose qu’au 5 0, contraire, on soit capable 6 0, de faire une telle bijection. 7 0, Il écrit les nombres réels de l’intervalle ]0, 1[ sous forme de suites décimales illimitées. Par exemple, 1/2 s’écrit 0,5000…, 1/3 s’écrit 0,3333..., 3/7 s’écrit 0,428571428…, et ainsi de suite. Puisqu’il a supposé que ]0, 1[ est dénombrable, il ordonne alors ces nombres selon le nombre naturel qui lui est associé. Cela donne une correspondance de la forme ci-contre. Chacun des carrés représente un chiffre du nombre exprimé en suite décimale infinie. La diagonale principale