Roc Mathematique
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lim
x!a
u(x) = +1, alors lim
x!a
f (x) = +1
(Énoncé analogue pour −1)
Démonstration :
Dans le cas où a = +1(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration
des autres cas ne pourra vous être demandée.)
On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l.
La fonction u a pour limite l en +1 donc il existe un réel A tel que pour tout
x 2]A; +1[ tous les nombres u(x) sont dans I.
De même, pour la fonction v :
On note B le réel tel que pour tout x 2]B; +1[ on a : v(x) 2 I.
On désigne par C le plus grand des nombres A et B. Alors pour tout x 2]C; +1[
on a : v(x) 2 I et u(x) 2 I.
Or, on sait que u(x) f (x) v(x).
Donc, nécessairement f (x) 2 I
Conclusion :
f a pour limite l quand x ! +1
2
1.2 Bijection
Théorème 2 dit de la « bijection »
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b],
Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a
une solution unique dans [A, B].
Démonstration
Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le
cas où f est décroissante sera facile à en déduire.
On sait que f est une fonction continue sur [a, b].
Considérons le réel k compris entre f (a) et f (b).
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel tel que :
f ( ) = k
Supposons qu’il existe réel tel que , et f ( ) = k
Si > , alors f ( ) > f ( ) (On sait que f est strictement croissante).
et donc : f ( ) , k
Contradiction. La supposition est donc fausse, et le réel est unique.
On procède de même si < .
D’où le résultat.
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1.3 Fonction composée
Théorème 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle
I et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J tel que pour
tout x 2 I on ait u(x) 2 J.
alors la fonction f = g u est dérivable sur I et on a pour tout x 2 I :
f 0(x) = g0(u(x)) × u0(x)
En résumé, on note (g u)0 = g0 u × u0
Démonstration :
Note importante : les commentaires officiels du programme précisent : « le principe
de la démonstration sera indiqué »
Soit x0 2 I. Pour tout x 2 I(x , x0) on a :
f (x) − f (x0)
x − x0
=
g(u(x)) − g(u(x0))
x − x0
=
g(u(x)) − g(u(x0))
u(x) − u(x0)
×
u(x) − u(x0)
x − x0
pour x , x0
on a :
lim
x!x0
u(x) = u(x0) = y0
On pose X = u(x). On a alors
lim
x!x0
g(u(x)) − g(u(x0))
u(x) − u(x0)
= lim
X!y0
g(X) − g(y0)
X − y0
= g0(y0)
De plus :
lim
x!x0
u(x) − u(x0)
x − x0
= u0(x0)
Conclusion :
f 0(x0) = g0(y0) × u0(x0)
= g0(u(x0)) × g0(x0)
CQFD
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1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité
Propriété 1 S’il existe une solution f dérivable sur R de l’équation
différentielle f 0 = f avec f (0) = 1,
alors f est non nulle sur R
Démonstration :
On considère la fonction g : x 7! f (x) f (−x). g est définie sur R, et —par
composition de fonctions dérivables sur R—est donc dérivable sur R.
En utilisant le théorème de dérivation composée, on a pour tout x 2 R :
g0(x) = f 0(x) f (−x) − f (x) f 0(−x)
= f (x) f (−x) − f (x) f (−x) ( f 0 = f )
= 0
g est donc une fonction constante.
Or, f (0) = 1 donc g(0) = 1 et pour tout x 2 R on a : g(x) = 1.
Supposons qu’il existe a 2 R tel que f (a) = 0.
Alors on aurait g(a) = f (a) f (−a) = 0. Contradiction.
La supposition est donc fausse et f ne s’annule jamais.
QED.
Théorème 4 et Définition
Il existe une unique fonction f , dérivable sur R telle que f 0 = f et
f (0) = 1.
Cette fonction est la fonction exponentielle. On la note exp.
Démonstration :
Existence :
le théorème d’existence et d’unicité de la fonction qui s’annule en a :
x 7!
Z x
a
f (t)dt (voir théorème 16 page 16) permet de prouver l’existence de
la fonction logarithme et de sa réciproque, la fonction exponentielle (grâce au
théorème de la bijection).
Unicité :
Supposons qu’il existe une autre solution g vérifiant les conditions.
f ne s’annule pas, la fonction
g
f
est donc définie et dérivable sur R et on a :
g
f
!0
=
f 0g − g0 f
f 2 =
f g − g f
f 2 = 0.
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La fonction
g
f
est donc constante. Or,
g
f
(0) =
g(0)
f (0)
= 1
Donc, pour tout réel x,
g
f
(x) = 1. D’où f = g
Conclusion :
La fonction f est unique.
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1.5 Équation différentielle
Théorème 5 Équation y0 = ky
Soit k un réel non nul. L’équation différentielle f 0 = k f a pour ensemble
de solutions dans R l’ensemble
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