Mathematiques

limites aux bornes.

Montrons dans un premier temps la propriété suivante :

Pour tout réel x : ex > x

Ce qui signifie graphiquement que la courbe de la fonction exponentielle est toujours au dessus de la première bissectrice.

Démonstration

Pour x < 0, la fonction exponentielle étant strictement positive, on a de façon évidente : ex> x

Soit la fonction h définie sur [ 0 ; [pic][ par : h (x) = ex - x

Par addition, h est dérivable sur [ 0 ; [pic][ et : h’(x) = ex - 1

Or, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : x > 0 ⇒ ex > e0

Soit : ex > 1 La fonction h est donc croissante sur [ 0 ; [pic][

D’où x > 0 ⇒ h(x) > h(0) Or h(0) = e0 - 0 = 1

Donc, pour x > 0 : ex - x > 1 , soit : ex - x > 0.Par conséquent : si x > 0 alors : ex > 0

Pour tout réel x : ex > x

Remarque :

pour appliquer le théorème de comparaison, avoir cette inégalité seulement pour les réels positifs suffisait.

Or [pic]

Donc, d’après les théorèmes de comparaison : [pic]

Pour trouver [pic] posons le changement de variable : X = -x

On a alors : x = -X d’où : [pic]

[pic]

D’où : [pic]

Donc : [pic]

D’où le tableau complet de variations de la fonction exponentielle :

[pic]

avec 0 et 1 comme valeurs de référence ajoutées

3/ Tracé de la fonction exponentielle

À l’aide des nombres dérivées

en nos deux valeurs de référence,

nous pouvons tracer les tangentes à la courbe en 0 et 1.

exp’(0) = e0 = 1

exp’(1) = e1 = e

Donc la tangente au point d’abscisse 1

a pour équation : y = ex + b

Le point de tangence a pour coordonnées :

A ( 1 ; e )

D’où : e = e x 1 + b Donc b = 0.

La tangente en 1 passe donc par l’origine.

Comme [pic] , l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en [pic]

Et la fonction exponentielle étant strictement positive, sa courbe est toujours au dessus de l’axe.

4/ Fonction exponentielle au voisinage de 0

Intéressons-nous au nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 :

Par définition du nombre dérivé : exp’(0) = [pic]

Soit : [pic] Or exp’ (0) = e0 =1

D’où : [pic]

Remarque :

ce résultat est à retenir, ce qui n’est pas très difficile si l’on sait que pour le retrouver, il suffit d’utiliser la définition du nombre dérivé en 0 appliqué à la fonction exponentielle.

En utilisant le nombre dérivé, il est également possible de trouver une approximation affine de lafonction exponentielle en 0 :

pour h assez proche de 0 : exp (0 + h) ≈ exp(0) + exp’(0) x h

D’où : exp(h) ≈ 1 + h

Une approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0 est donc :

exp(x) ≈ x + 1 pour x proche de 0.

Interprétation graphique :

la courbe de la fonction exponentielle et sa tangente en 0 se confondent au voisinage de 0.

5/ Croissances comparées

D’autres résultats sur les limites, liés à la fonction exponentielle sont également à connaître.

Ils permettent de trouver les limites de fonctions mélangeant polynômes et exponentielle.

Le premier de ces résultats est le suivant : [pic]

Démonstration :

Soit la fonction h définie sur R par : [pic]

Par addition, h est dérivable sur R et : h(x) = ex - x

Or, nous avons montré plus haut que pour tout réel x : ex > x Donc h’(x) > 0

La fonction h est donc strictement croissante sur R.

D’où : x > 0 ⇒ h(x) > h(0) Or h(0) = e0 - 0 = 1

Donc, pour x > 0 : [pic] , soit [pic] .

Par conséquent : si x > 0 alors : [pic]

D’où : si x > 0 alors : [pic]

Or : [pic] , donc d’après les théorèmes de comparaison : [pic]

Le second de ces résultats est le suivant : [pic]

Il se déduit du premier en opérant un changement de variable :

Posons X = -x

On a alors : x = -X d’où : [pic]

[pic]

D’où : [pic]

En résumé, les deux nouveaux résultats sur les limites, à connaître sont :

[pic] [pic]

Une méthode simple pour retenir ces deux Formes Indéterminées

est de se dire que dans les deux cas,

la limite serait la même si on remplaçait x par 1.

En [pic] , cette méthode se comprend en se disant que la fonction exponentielle croit « infiniment » plus vite que la fonction qui à x associe x.