Milieu Continu

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6 Élasticité plane 6.1 Déformation plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Contrainte plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Méthodes de résolution 7.1 Méthode en déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Méthode en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Expression des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Critères d’élasticité 8.1 Rankine . . . . . 8.2 Tresca . . . . . . 8.3 von Mises . . . . 8.4 Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

TABLE DES MATIÈRES 41 41 43 44 45 45 45 45 45 45 45 46 46 46 47 47 47 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 50 50 50 50 51 53 55 57 57 57

9 Concentration de contraintes 9.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Coefficient théorique de concentration de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Rupture d’une pièce sous l’effet d’une concentration de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 10 Exercices et problèmes 10.1 Rappels mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notations indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude de déformations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d’un solide soumis à un champ de déplacements . . . . . . . . . Analyse d’une rosette à 0, 45 et 90 degrés par construction graphique Équipement d’une pièce en jauges de déformation . . . . . . . . . . . . 10.3 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . État de contrainte d’une éprouvette de traction uni-axiale . . . . . . . Plaque fissurée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d’un état de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flexion de barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Cercles de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cercles de Mohr pour un état plan de contrainte . . . . . . . . . . . . Reprises de questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charge limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Hooke inversée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Traction mono-axiale d’une poutre hétérogène . . . . . . . . . . . . . . Sollicitation thermo-mécanique d’une poutre élastique hétérogène . . . 10.6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Barrage poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conception mécanique d’un arbre de torsion . . . . . . . . . . . . . . . Tuyauterie haute pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Torsion et sollicitation thermique d’un cylindre creux . . . . . . . . . . Bibliographie A Dimension et unité B Formulaire B.1 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1

Introduction générale

En mécanique rationnelle (cinématique, dynamique, résistance des matériaux, etc.), les systèmes matériels sont supposés être des assemblages de solides parfaitement rigides et indéformables. En réalité, les corps sont déformables. La Mécanique des Milieux Continus a pour objet la modélisation des corps matériels déformables (solides et fluides). Elle constitue une matière scientifique fondamentale dont l’étude est indispensable pour qui souhaite aborder dans les meilleures conditions d’autres disciplines scientifiques et techniques plus spécialisées telles que la mécanique des solides et le calcul des structures, la mécaniques des sols et des roches, la mécanique des fluides et l’hydraulique, la mécanique des phénomènes vibratoires, le béton armé et précontraint, les constructions mécaniques. Elle se pose ainsi en base scientifique nécessaire à l’exercice du métier d’ingénieur ou de chercheur dans des domaines aussi variés que les ouvrages d’arts, le bâtiment, les chaussées, la géotechnique, les milieux marins et les voies navigables, la météorologie, la dynamique des ouvrages, etc. Le désir de connaître la valeur des contraintes apparaissant dans une pièce chargée correspond à un but pratique qui est de pouvoir prédire si cette pièce aura à subir une déformation excessive ou une rupture brusque ou progressive. Lorsque des essais de traction sont effectués sur deux barreaux dont l’un de section double, on prévoit que le plus gros se rompra pour une charge également double. Comme c’est ce que l’on constate habituellement, on peut définir la résistance du matériau comme le rapport de la charge de rupture à la section ; ce chiffre représente une contrainte. La connaissance de cette contrainte permet à l’ingénieur de concevoir des pièces capables de supporter en toute sécurité les efforts prévus en service. Le comportement mécanique des matériaux, c’est-à-dire l’étude de la déformation résultant de l’application de forces, est traditionnellement divisé en deux grandes parties : le comportement élastique et le comportement non élastique. La deuxième catégorie recouvre en fait un très grand nombre de comportements différents tels que l’anélasticité, la viscosité, la viscoplasticité ou l’élastoplasticité. On peut à la limite dire que l’élasticité est un modèle mathématique qui idéalise le comportement des matériaux. Ce n’est que pour des déformations statiques et faibles que les corps dits élastiques obéissent avec une bonne précision aux lois de l’élasticité linéaire. C’est de l’observation de la déformation d’un solide, par exemple au cours d’une opération de formage à froid ou à chaud (Figures 1.1 et 1.2), que la notion de milieu continu déformable tire son origine. Elle signifie que l’observateur retire de ces expériences d’idée que certains problèmes peuvent être traités à une échelle macroscopique en assimilant cette matière à un milieu continu, sans contredire les modélisations de la physique microscopique. La notion d’échelle pertinente pour un problème peut ainsi être introduite : liée évidemment aux phénomènes mis en jeu, elle dépend de façon essentielle de la nature des questions que l’on se pose à leur propos. Un exemple tiré de la pratique journalière de certains ingénieurs permet d’en fournir une illustration. Les ingénieurs du génie civil construisant des ouvrages tels que fondations, bâtiments, soutènements, barrages, . . . , dont la dimension caractéristique va du mètre à la centaine de mètres, sont confrontés à des problèmes de stabilité des massifs de sols sableux, matériaux grenus dont la dimension caractéristique des grains est de l’ordre du millimètre ou du dixième de millimètre. Pour ce type de problème et ce type d’ap-

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Introduction générale

Figure 1.1 – Extrusion d’un tube. Document du CEA. Illustration tirée de Salençon.

Figure 1.2 – Matriçage d’un lopin en aluminium. Thèse du CEMEF. Illustration tirée de Salençon.

plication “ stabilité ou instabilité de l’ouvrage ? ”, ils se réfèrent fréquemment au modèle classique de la mécanique des milieux continus bien que, à l’évidence, la terminologie de “ continue ” soit peu appropriée à la nature de ces matériaux. La pertinence de cette attitude ne saurait être affirmée a priori ; elle est attestée par l’expérience. Il s’agit là d’une démarche habituelle : la modélisation physique puis mathématique