Probabilité

éments parmi n en tenant compte de l'ordre mais sans répétitions. 9

9 Combinaisons : Une combinaison de p éléments de E est une partie de E qui contient p éléments.

On choisit p éléments parmi n mais sans tenir compte de l'ordre et sans répétitions.

C np =

Formules :

Anp n! = p! ( n − p )! p!

n C n − p = C np et C np = C np−−11 + C np−1 (Triangle de Pascal )

( a + b) n =

∑C

p =0

n

Dénombrements : quelles méthodes ?

Typesde tirages Successifs Avec remise Successifs Avec remise Simultanés Ordre Répétitions d'éléments Un élément peut être tiré plusieurs fois Un élément n'est tiré qu'une seule fois Dénombrement n

p

On tient compte de l'ordre L'ordre n'intervient pas

Arbres Pondérés

Règles de construction

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est 1. La probabilité de l'événement correspondant à un trajet est le produit des probabilités des différentes branches composant ce trajet.

¡

F

¡

2 5

N

p(F,N)

¡

1 2

3 5

B

p(F,B)

¡

Exemple On jette une pièce. Si on obtient pile, on tire une boule dans une urne contenant 1 boule blanche et 2 boules noires. Si on obtient face, on tire une boule dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 boules noires. On peut représenter cette expérience par l'arbre pondéré ci-contre :

Anp = n ( n − 1)

(n − p + 1) =

n! ! ( n − p )!

0 avec C n = 1

p n− p p b n a

( Binôme de Newton)

p-listes

Anp arrangements C np combinatoires

1 3 1 2

B

p(P,B)

1x1 2 3

P

2 3

N

p(P,N)

1x2 2 3 1x3 2 5

1x2 2 5

Variables Aléatoires

Une variable aléatoire est une application X de l'univers Ω dans IR. On détermine la loi de probabilité d'une variable aléatoire X, en donnant les probabilités p(X pour toutes les valeurs prises par X. (la somme de ces probabilités est égale à 1)

L'espérance mathématique de X (ou moyenne) est le nombre réel

1

On a aussi V(X) =

∑(x )

i i =1

i=n

2

2 . p ( X = x i ) − [E ( X )]

L'écart type de X est le nombre réel (positif) σ(X) =

V (X ) .

La fonction de répartition de X, est définie pour tout réel par F(x) = p(X ≤ x). La fonction de répartition de X est une fonction en escalier, croissante, dont la valeur minimale est 0 et la valeur maximale .

 





    



 



 

  



£

V(X)

(

− E(X)) .p(X

)

(

− E(X)) .p(X

)

(

− E(X)) .p(X





∑

©

 



La variance de X est le nombre réel (positif)

©

§

¥

E(X)

.p(X

)

.p(X

)

c'est-à-dire E(X) =

∑ x . p( X = x ) .

i i i =1

i=n

)

¢ ¡

),

§ £ ¡

¡

¢ ¡

¦ ¥ ¤ ¡ £ ©

¨ ¡

¤ ¡ £

Probabilités

Vocabulaire :

Univers : Ensemble des résultats possibles lors d'une expérience. Evènement élémentaire : 1 résultat possible. (Souvent noté e i ) p( e i ) = 1 . Probabilité : Nombres associés aux e i tels que 0 < p(e i ) ≤ 1 et

∑

Variables aléatoires : Ce sont des nombres x, réels, associés aux e i . (Souvent des gains ou des pertes). Loi de probabilité : Tableau donnant toutes les valeurs des p i = p ({X = x i }) .

Evènements indépendants : 2 évènements A et B sont indépendants si : Probalités conditionnelles :

Sachant que A est réalisé, on calcule la probabilité de B, notée : p A ( B) .

Dénombrement

Schémas type :

P-listes :Il s'agit de compter toutes les listes possibles de p éléments parmi n en tenant compte de l'ordre et avec répétitions des éléments. Le nombre de ces listes est n p . Arrangements :On choisit p éléments parmi n en tenant compte de l'ordre mais sans répétitions.

9 Combinaisons :On choisit également p éléments parmi n mais sans tenir compte de l'ordre et sans répétitions. 9

9

Cp = n Formules :

Ap n p!

n

avec

C n − p = C p et C p = C p −1 + C p −1 (Triangle de Pascal) n n n n −1 n ( a + b) n =

∑C

p=0

Schéma de Bernoulli : On l'applique lorsqu'on répète des épreuves dont les résultats sont indépendants des épreuves précédentes :

 p = probabilité de A  où k = Nbre de réalisations  n = Nbre d ' épreuves 

k Cn . p k .

(1 − p )

¡