Resolution Equadiff

xn –x (En) y ' + y = e n! 1° g(x) = h(x) e–x a) g solution de (En) si et seulement si pour tout réel x : g '(x) + g(x) = xn –x e n! g(x) = h(x) e–x donc g '(x) = h '(x) e–x – h(x) e–x xn –x xn –x xn g '(x) + g(x) = e ⇔ h '(x) e–x – h(x) e–x + h(x) e–x = e ⇔ h '(x) = (car e–x ≠ 0) n! n! n! xn 1 xn+1 b) h est donc une primitive de la fonction : x → donc h est de la forme h : x → × + c où c est une n! n! n+1 xn+1 xn+1 + c et h(0) = 0 si et seulement si h(x) = et c = 0. constante . h(x) = (n + 1) ! (n + 1) ! xn+1 On a alors : g(x) = h(x) e–x = e–x (n + 1) ! xn –x 2° a) g solution de (En) donc pour tout réel x , g '(x) + g (x) = e n! xn –x ϕ solution de (En) si et seulement si pour tout réel x, ϕ '(x) + ϕ(x) = e n! xn –x ϕ '(x) + ϕ(x) = e ⇔ ϕ ' (x) + ϕ (x) = g '(x) + g(x) ⇔ (ϕ – g) '(x) + (ϕ – g)(x) = 0 n! On a bien : ϕ solution de (En) si et seulement si ϕ – g solution de (F) b) Les solutions de (F) sont de la forme : x → k e–x où k est une constante. c) ϕ solution de (En) si et seulement si ϕ – g solution de (F) si et seulement si il existe une constante k telle que pour tout réel x ϕ (x) – g(x) = k e–x les solutions générales de (En) sont donc de la forme : xn+1 x → k e–x + e–x où k est une constante (n + 1) ! xn+1 d) Il faut déterminer la constante k telle que la fonction f : x → k e–x + e–x soit la solution vérifiant la (n + 1) ! condition initiale donnée. 0n+1 xn+1 f(0) = 0 ⇔ k e0 + e0 = 0 ⇔ k = 0. la fonction f est donc définie sur IR par : f(x) = e–x (n + 1) ! (n + 1) ! Partie B 1° a) f0(x) = e–x et f1 (x) = x e–x Pour tout réel x , f1'(x) + f1 (x) = e–x – x e–x + e–x = – x e–x = f0 (x) f1 est bien solution de l'équation : y ' + y = f0 b) P (n) : la solution fn de l'équation différentielle y ' + y = fn–1 (x) qui s'annule en 0 est la fonction définie sur xn –x IR par : fn (x) = e n! Initialisation : x1 –x –x f1 est la solution de y ' + y = f0 qui s'annule en 0 et f1 (x) = x e = e 1! La propriété P (1) est donc bien vérifiée. Hérédité : Si P (n) est vérifiée alors la solution fn de l'équation différentielle y ' + y = fn–1 (x) qui s'annule en 0 est la xn –x fonction définie sur IR par : fn (x) = e n! On cherche donc la solution de l'équation différentielle y ' + y = fn(x) qui s'annule en 0 c’est à dire la solution de (En) qui s'annule en 0. xn+1 Dans la partie A on a vu que cette solution est la fonction f définie par : f(x) = e–x c’est à dire la (n + 1) ! fonction fn. La propriété P (n + i) est donc bien vérifiée. Conclusion : la propriété P (n) est héréditaire à partir de 1 donc elle est vérifiée pour tout entier n ≥ 1. 2° a) Pour tout réel x de [ 0 , 1], 0 ≤ e–x ≤ 1

    

xn xn ≥ 0 on a donc pour tout réel x de [ 0 , 1], 0 ≤ fn(x) ≤ n! n! 1 xn On intègre les inégalités sur [ 0 , 1 ] et on obtient : 0 ≤ In ≤ ⌠  n ! dx. ⌡0 n n+1 1 1 x x 1 1 1  On a ⌠  n ! dx = n ! × (n + 1) ! = (n + 1) !. donc 0 ≤ In ≤ (n + 1) !  0 ⌡0 k k–1 1 x –x –x ⌠1 x b) Ik – Ik–1 = ⌠ ⌠1  k ! e dx –  (k – 1) ! e dx = ⌡0 (fk(x) – fk–1 (x)) dx ⌡0 ⌡0 Par définition la fonction fk est solution de l'équation différentielle y ' + y = fk–1 On a donc pour tout réel x, fk '(x) + fk(x) = fk–1 (x) et donc fk(x) – fk–1(x) = – fk'(x). 1 1 –1 Ik – Ik–1 = ⌡01 (fk(x) – fk–1 (x)) dx = – ⌡01 fk'(x) dx = [– fk(x)] = – fk(1) = – e ⌠ ⌠ k! 0 Comme pour tout réel x de [ 0 , 1], Remarque : Un calcul direct de fk(x) – fk–1 (x) ne donne rien. xk xk–1  –x xk–1 x  –x En effet fk(x) – fk–1 (x) =  k ! – (k – 1) !  e = (k – 1) ! k – 1 e ce qui, à priori, ne permet pas de conclure.     1 e–x dx = [– e–x]1 = – e–1 + 1 c) I0 = ⌠0 ⌡ 0 Démonstration par récurrence que pour tout entier n , In = 1 –

∑

k=0

n

e–1 . k!

On définie la propriété P (n) : In = 1 – Initialisation : I0 = 1 – e

–1

∑

k=0

n

e–1 .. k!

et 1 –

∑

k=0

0

e–1 e–1 =1– = 1 – e–1 k! 0!

la propriété P (0) est donc vérifiée. Hérédité : Si la propriété P (n) est vérifié alors In = 1 –

∑

k=0

n

e–1 . k!

1 1 On a vu que : In+1 – In = – e–1 donc In-+1 = In – e–1 = 1 – (n + 1) ! (n + 1) !

∑

k=0

n

e–1 1 – e–1 = 1 – k