Maths Financieres

I

L’intérêt reçu à la fin d’une période p pour un capital C au taux d’intérêt t d’une période p est égal à �� × ��. On dit que les intérêts sont simples si le capital placé C reste invariable pendant les n périodes. A chaque fin de période p l’investisseur perçoit le même intérêt �� × ��. L’intérêt total I après les n périodes est donné par:

�� = �� × �� × ��

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Intérêt lorsque le taux d’intérêt est donné en % : i : le taux d’intérêt d’une période p t : le taux d’intérêt en % d’une période p On a alors: �� = ������ × �� �� �� = ������ Donc: �� = �� × �� × �� �� × t × n �� = ������

Remarque: Les intérêts simples sont utilisés en général dans le court terme, c’est-à-dire moins d’une année

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Exercice 1: Quel est intérêt produit à intérêts simples, par un placement d’une somme d’argent de 15000 DH pendant 2 années à un taux annuel de 13%. Solution: �� = �� × �� × �� �� = ���������� × ��, ���� × �� = �������� ���� Exercice 2: Quel est intérêt produit à intérêts simples, par un placement d’une somme d’argent de 35850 DH pendant 3 ans à un taux annuel de 11%. Solution: �� = �� × �� × �� �� = ���������� × ��, ���� × �� = ����������, ���� ����

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Taux d’intérêt annuel, semestriel, trimestriel, mensuel et journalier:

n années

C i : le taux d’intérêt annuel Donc: �� = �� × �� × ��

I

n années = s semestres = T trimestres = m mois = j jours

On a alors: �� × �� × �� �� = �� �� = �� × �� × �� �� �� = �� × �� × �� ���� �� × �� × �� �� = ������

1 année commercial = 360 jours

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Exercice 1) Quel est l’intérêt produit à intérêts simples, par un placement d’une somme d’argent de 12500 dh au taux annuel de 10,5% pendant 96 jours? 2) Quel est l’intérêt produit par un placement de 15000 dh au taux annuel de 9,5 % pendant 7 mois? 3) Soit un capital de 30000 dh placé à intérêts simples du 17 mars au 27 juillet de la même année, au taux annuel de 12,5 %. Calculer l’intérêt produit par ce placement. Solution: 1) �� = �� = �� × �� × �� 12500 × 0,105 × 96 = = 350 ��ℎ 360 360

2) 3)

�� × �� × �� 15000 × 0,95 × 7 = = 858,99 ��ℎ 12 12

17 mars Date initial exclue 132 jours

27 juillet Date finale incluse

�� × �� × �� 30000 × 0,125 × 132 �� = = = 1375 ��ℎ 360 360

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Calcul de l’intérêt par la méthode des nombres et des diviseurs fixes

n années = j jours

C i : le taux d’intérêt annuel �� = On pose: �� = �� × �� �� × �� × �� �� × �� = ������ ������ ��

I

Fixe ������ �� = ��

On obtient alors :

�� �� = ��

Formule utile surtout pour calculer l’intérêt global produit par plusieurs capitaux placés à intérêts simples au même taux d’intérêt pendant des durées différentes.

12

���� jours

���� jours

⋯

����

����

����

����

i : le taux d’intérêt annuel pour tous les placements

���� =

�� ��

���� ��

���� = ��

�� ��=�� ����

1 ≤ �� ≤ ��

L’intérêt global:

�� =

��=��

���� =

��=��

��

�� = Exemple:

�� ��=�� ����

��

Calculer l’intérêt global au taux annuel de 12 % des capitaux suivants:

15000 dh placé pendant 38 jours 27000 dh placé pendant 76 jours 32000 dh placé pendant 60 jours

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5. Valeur définitive ou valeur acquise

n périodes

C

i : le taux d’intérêt d’une période

I: intérêts ������������ ��é����������������: ���� = �� + ��

La valeur définitive VD ou la valeur acquise après la durée de n périodes est la somme du capital investi C et des intérêts I: ���� = �� + �� ���� = �� + �� × �� × �� = �� �� + �� × ��

14

Exercice: Calculer l’intérêt et la valeur acquise d’un placement à intérêts simples de 15000dh pendant 50 jours au taux annuel de 9 %. solution:

�� =

�� × �� × �� 15000 × 0,09 × 50 = = 187,50 ��ℎ 360 360

���� = �� + �� = 15000 + 187,50 = 15187,50 ��ℎ

15

6. Taux d’intérêt moyen de plusieurs placements

k Placements 1 ≤ �� ≤ �� ����

���� périodes p

���� : taux d’intérêt d’une période p

���� : intérêts

Une période p (1 jour, 1 mois, 1 trimestre, 1 semestre, 1 année) L’intérêt global procuré par les k placements est la somme des k intérêts:

��

���� =

��=1

���� × ���� × ����

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Définition: Le taux d’intérêt moyen (d’une période p) est le taux d’intérêt ���� qui procure le même intérêt global lorsqu’il est appliqué aux k placements:

�� ��

���� × ���� × ���� =

��=1 ��=1

���� × ���� × ����

���� = ���� = ���� × ����

�� ��=�� ���� × ���� × ���� �� ��=�� ���� × ����

On pose: On obtient: Attention :

���� =

�� ��=�� ���� × ���� �� ��=�� ����

C’est une moyenne pondérée des ���� avec les poids����

���� est le nombre de périodes p ���� et ���� sont des taux d′ intérêt ��′ ������ ��é���������� ��

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Exercice: Calculer le taux moyen des placements suivants: 2000 dh placés pendant 30 jours à 7% 7000 dh placés pendant 60 jours à 10% 10 000 dh placés pendant 50 jours à 9% solution: ���� =

��