Résumé Statistiques

e : S¯x = * N - n

n N - 1

Exemple : Un fabricant annonce un pourcentage en matières grasses moyen pour ses produits de 40%. Voici les résultats d’un échantillon de quarante articles prélevés au hasard dans la production

38 | 39 | 41 | 43 | 50 |

45 | 51 | 45 | 45 | 45 |

39 | 52 | 42 | 53 | 45 |

52 | 50 | 43 | 36 | 43 |

42 | 40 | 50 | 38 | 48 |

38 | 43 | 38 | 42 | 44 |

46 | 42 | 38 | 45 | 40 |

40 | 37 | 42 | 53 | 48 |

* rechercher l’intervalle de confiance contenant la moyenne population à un niveau de probabilité de 95%

Moyenne ¯xi | Effectifs fi | (¯xi - M¯x)2 | fi (¯xi - M¯x)2 |

36 | 1 | 60,53 | 60,53 |

37 | 1 | 45,97 | 45,97 |

38 | 5 | 33,41 | 167,05 |

39 | 2 | 22,85 | 45,7 |

40 | 3 | 14,29 | 42,87 |

41 | 1 | 7,73 | 7,73 |

42 | 5 | 3,17 | 15,85 |

43 | 4 | 0,61 | 2,44 |

44 | 1 | 0,05 | 0,05 |

45 | 6 | 1,49 | 8,94 |

46 | 1 | 4,93 | 4,93 |

48 | 2 | 17,81 | 35,62 |

50 | 3 | 38,69 | 116,07 |

51 | 1 | 52,13 | 52,13 |

52 | 2 | 67,57 | 135,14 |

53 | 2 | 85,01 | 170,02 |

| 40 | | 911,04 |

 M¯x = 43,78

S¯x2 = 911,04/40 = 22,776

S¯x = √22,776 = 4,77

P (43,78 – 1,96 * 4,77 < m < 43,78 + 1,96 * 4,77) P (42,30 < m < 45,26)

40 40

* effectuer le test d’hypothèse par rapport à l’affirmation du fabricant

H0 : m = 40 et H1 : m 40

43,78 (40 1,64 * 4,77) 43,78 38,76 - 41,24 Rejet H0

40

* en quoi consisterait dans cet exercice l’erreur de première espèce

Rejeter H0 alors qu’elle est vraie

* en quoi consisterait dans cet exercice l’erreur de seconde espèce

Ne pas rejeter H0 alors qu’elle est fausse

* quelle serait la plus grande taille échantillon telle qu’à résultat observé identique il y ait non rejet de l’hypothèse

1,64 * 4,77 > 3,78 ( entre 40 et 43,78) 4

40

Grands échantillons (>30)

Inférence sur les moyennes

Théorème Central Limite

* Taille d’échantillon doit être supérieure ou égale à 30

* Ecart type : S¯x = de n

de N

Exemple : Avec N = 150, ¯x = 100 et  population = 20. Calculer la probabilité pour que la moyenne échantillon se situe entre

- entre 97 et 100 P (97 < x < 100) P (97 - 100 < x < 100 - 100) P (1,8371 < Z < 0) 46,71%

20/50 20/50

- soit supérieur à 101 P(x > 101) P (x > 101 - 100) P (Z > 0,6123) 50 - 22,91 = 27,07%

20/50

Grands échantillons (>30)

Inférence sur les moyennes

Intervalle de confiance autour de la moyenne population

Ecart type population connu

* Pr ob (¯x - tc * < m < ¯x + tc * ) où écart type population

n n

90% | 1,64 |

95% | 1,96 |

99% | 2,58 |

Exemple : Le prix d’un produit est relevé dans 80 magasins. La moyenne observée de l’échantillon aléatoire est de 50€ et l’écart type au niveau de la population est de 10€. Calculer l’intervalle de confiance autour de la moyenne population aux niveaux

- 90% P (50 - 1,64 * 10 < m < 50 + 1,64 * 10) P 48,17 - 51,83

80 80

- 99% P (50 - 2,58 * 10 < m < 50 + 2,58 * 10) P 47,11 - 52,88

80 80

- 88% P (50 - 1,28 * 10 < m < 50 + 1,28 * 10) P 48,56 - 51,43

80 80

Grands échantillons (>30)

Inférence sur les moyennes

Intervalle de confiance autour de la moyenne population

Ecart type population inconnu

* Pr ob (¯x - tc * S < m < ¯x + tc * S) où S écart type échantillon

n n

Exemple : Soit un échantillon de 50 magasins prélevés au hasard dans une grande population. En observant le nombre de clients effectifs durant une journée, on obtient une moyenne échantillon de 75 et un écart type échantillon de 20. Quel est l’intervalle de confiance pour la moyenne population à

- 90% P (75 - 1,64 * 20 < m < 75 + 1,64 * 20) P 70 - 80

50 50

- 99% P (75 - 2,50 * 20 < m < 75 + 2,58 * 20) P 68 - 82

50 50

Grands échantillons (>30)

Inférence sur les moyennes

Test d’hypothèse sur la moyenne et évaluation de la taille échantillon

Test bilatéral

* H0 : m = mO et H1 : m m0

* Si ¯x (mO ) à un niveau (90%, 95% ou 99%) il y a NRHO à ce niveau

n

* Il faut remplacer l’écart type population par l’écart type échantillon si le premier est inconnu

¯x (mO S)

n

* Erreur de première espèce consiste à rejeter H0 alors qu’elle est vraie

* Erreur de seconde espèce consiste à ne pas rejeter H0 alors qu’elle est fausse

Exemple : Un fabricant prétend que son produit a une durée de vie de 500 heures. En prélevant un échantillon au hasard de 60 articles dans un très grand nombre d’articles, on constate après test que la durée de vie moyenne observée est de 475 heures et que l’écart type observé est de 100. Doit-on dès lors mettre en doute les dires du fabricant ?

H0 : m = 500 et H1 : m 500

475 (500 tc * 100)

60