TP : nombres complexes et rotations planes

[pic 1]    Travail sur Geogebra

[pic 2]    Travail sur cahier

[pic 3]

1°) Calculez (1+i)(2+i).

[pic 4]

Vérifiez le résultat dans la partie « Calcul formel ».

Le nombre ί est obtenu avec la combinaison de touches Alt i.

[pic 5]

2°) a) Calculez (1+i)².

      b) Déduisez-en la forme algébrique de (1+i)2018.

[pic 6]

Vérifiez la réponse du 2°) b).

[pic 7]

Affichage / Graphique et Affichage / Champ de saisie si nécessaire.

Dans la zone de Saisie, tapez P=1+2 ί ou P=(1+2ί ) pour créer le point P d’affixe 1+2i.

Tapez M=2*exp( ί theta) ou M=2*e^( ί theta) (utilisez Alt e et Alt i), acceptez la création d’un curseur pour theta.

Activez la trace sur le point M. Déplacez le curseur theta : que peut-on dire du point

M ?

En entrant uniquement des nombres complexes dans la zone de Saisie, placez dans Geogebra les points A, B, C, D, E, F du graphique suivant[pic 8] :

G a la même ordonnée que B.

Construisez G à l’aide d’outils géométriques de Geogebra (droite, cercle).

Demandez à Geogebra l’angle entre u⃗ et ⃗OG        .

Écrivez la forme exponentielle de l’affixe de G puis vérifiez avec Geogebra.

Forme exponentielle → Forme algébrique (mode Graphique) Cochez Affichage / Algèbre si ce n’est pas déjà le cas.[pic 9]

Nous avions créé dans l’exercice 2 le point E avec une forme exponentielle mais Geogebra l’a automatiquement transformée en forme algébrique approchée.

[pic 10]

−i[pic 11]

1°) Donnez la forme algébrique exacte puis approchée de 4 e.

[pic 12]

Vérifiez la réponse approchée.

        [pic 13]        Forme algébrique → Forme exponentielle (mode Graphique)

Faîtes un clic droit sur le point A de l’exercice 2 puis, choisissez Propriétés / Algèbre et choisissez « Coordonnées polaires » dans Coordonnées.

2°) Quelle est la forme exponentielle approchée de l’affixe de A ?

[pic 14]

Forme exponentielle → Forme algébrique (mode Calcul Formel)

Comme dans le mode graphique, un complexe entré sous forme exponentielle est mis (presque entièrement) sous forme algébrique.

Tapez par exemple : exp( ί  π /3) puis Développer(exp( ί  π /3))

−i[pic 15]

3°) Donnez la forme algébrique exacte de 4e.

[pic 16]

Forme algébrique → Forme exponentielle (mode Calcul Formel)

On utilise tout simplement la fonction FormeExponentielle(…)

4°) Donnez la forme exponentielle exacte de [pic 17] .

        [pic 18]        Affichage / Graphique et Affichage / Champ de saisie si nécessaire.

1°) a) Tapez ω=exp( ί alpha) (ou ω=exp( ί α)) et acceptez la création d’un curseur pour alpha.[pic 19]

Modifiez le curseur pour qu’il aille de – 10 à 10.

b) Placez un point A n’importe où.

c) Tapez par exemple A’=A* ω .[pic 20]

(Geogebra multiplie l’affixe de A par ω et crée un point A’ avec le résultat).

d) Changez les valeurs de alpha.

Pour quelle(s) valeur(s) de alpha le point A’ est-il sur A ?

e) Que peut-on dire du point A’ ?

        Vérifiez-le en affichant l’angle ^AOA '        .

(il faudra peut-être à un moment aller chercher dans Options/Avancé…).

[pic 21]

2°) a) En utilisant l’outil Rotation, déterminez les coordonnées approximatives de l’image A’ du point A (5 ; – 1) par la rotation de centre O et d’angle – 60°.

b) Déterminez les coordonnées exactes de A’…

3°) Même questions avec l’image B’ du point B (– 2 ; 3) par la rotation de centre O et d’angle 135°.