Fonctions De Plusieurs Variables

intermédiaires . . . . .

3

Calcul différentiel 3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . 3.6.1 Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Le gradient est perpendiculaire à la ligne de niveau . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Vecteur normal et plan tangent à un graphe d’une fonction de 2 variables 3

3.7 3.8 4

Applications deux fois différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exemples de différentielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Difféomorphismes 33 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Théorème des accroissements finis 5.1 Fonction d’une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . 5.2 Fonction d’une valeur sur un espace Rp et à valeurs réelles 5.3 Fonction d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules de Taylor 6.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . 6.1.1 Fonction d’une variable réelle à valeur réelle . 6.1.2 Fonction d’une variable réelle à valeur dans Rq 6.1.3 Fonction e Rp à valeurs dans Rq . . . . . . . . 6.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Fonction d’une variable réelle à valeur dans Rq 6.2.2 Fonction de Rp à valeur dans Rq . . . . . . . . 6.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 37 38 38 39 41 41 41 41 42 43 43 43 43 45 45 45 46 46 47 47 47 48

5

6

7

Extrema 7.1 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . 7.1.2 Fonctions d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 7.1.3 Fonctions d’un espace de Banach à valeurs réelles . . . . 7.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Fonctions d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 7.2.2 Fonctions d’un espace de Banach à valeurs réelles . . . . 7.3 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chapitre 1 Notion de topologie dans Rn

Objectifs : Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d’une fonction d’une variable réelle à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs variables. L’idée fondamentale de cette théorie est d’approcher une application "quelconque" (de plusieurs variables réelles ici) par une application linéaire au voisinage d’un point. Le cadre général pour la mettre en œuvre est celui des espaces vectoriels (ce qui donne un sens au mot "linéaire"), munis d’une norme sur l’espace de départ (pour avoir une notion de voisinage) et une norme sur l’espace d’arrivée (pour savoir "approcher"). Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants ainsi que plusieurs applications notamment pour l’optimisation. Mais avant de s’attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien définir les notions de bases associées à cette théorie : à savoir les distances, boules ouvertes, fermées, les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc. Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels quelconques (hors programme), mais dans le cas particulier des espaces Rn qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimension n. Rappelons qu’en dimension 2 (n = 2), on identifie un vecteur x de coordonnées (x1 , x2 ) avec un point du plan de coordonnées (x1 , x2 ) une fois fixée une origine. Ici, on généralisera cette identification en désignant le point ou le vecteur de coordonnées (x1 , ..., xn ) par x = (x1 , ..., xn ) 2 Rn . Rappelons enfin que l’on ne peut pas diviser par un vecteur ! ! ! ! Or, dans R, la définition de la f (x) f (x0 ) dérivée fait intervenir le rapport . Elle implique donc de pouvoir diviser par (x x0 ). x x0 Mais dans Rn ça n’a pas de sens : la division par un vecteur n’est pas définie. Pour cette raison, on ne peut pas définir la dérivée d’une fonction D ⇢ Rn ! Rn . C’est pour cela que l’on introduira une notion plus sophistiquée : la différentiabilité.

1.1

Espaces métriques, définition de la distance

Rn = R ⇥ {z ⇥ R = {x = (x1 , ..., xn ), tel que xi 2 R, pour tout i 2 {1, ..., n}} | ... }

n f ois

Notation : On note

un espace vectoriel de dimension n. Rappelons ci-dessous la définition d’un espace vectoriel. 5

Définition 1 (ESPACES VECTORIELS) Soit E un ensemble. On dispose sur cet ensemble d’une opération (notée additivement) et on dispose par ailleurs d’une application K ⇥ E ! E qui à tout couple ( , x) associe x. On dit que E est un espace vectoriel lorsque 1. E est un groupe commutatif (pour l’addition) 2. pour tout vecteur x de E, 1.x = x (1 désignant le neutre de la multiplication de K). 3. pour tous , µ 2 K et pour tout vecteur x de E, ( µ)x = (µx) 4. pour tous , µ 2 K et pour tout vecteur x de E, ( + µ)x = x + µx 5. pour tout 2 K et tous vecteurs x, y 2 E, (x + y) = x + y. Nous allons dans ce cours, nous intéresser aux fonctions f : D ⇢ Rp ! Rq (p, q 2 N⇤ ). Pour cela il faudra étudier tout d’abord la structure du domaine D car le domaine est aussi important que la fonction comme nous le verrons. Nous allons donc définir de nouvelles notions : les notions de distance, normes, ouverts, fermés, etc... qui nous seront utiles tout au long de ce semestre. Définition 2 (DISTANCE) Soit E un ensemble non vide (on utilisera le plus souvent Rn ici). On dit qu’une application d E ⇥ E ! R+ , (x, y) 7! d(x, y), est une distance sur E si elle vérifie 1. (SEPARATION) pour tout (x, y) 2 E ⇥ E, {x = y} () {d(x, y) = 0}, 2. (SYMETRIE) pour tout (x, y) 2 E ⇥ E, d(x, y) = d(y, x), 3. (INEGALITE TRIANGULAIRE) pour tout (x, y, z) 2 E ⇥ E ⇥ E, d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) Définition 3 (ESPACE METRIQUE) On appelle espace métrique tout couple (E, d) où E 6= ; est un espace vectoriel et d est une distance. Exemple 1 Voir en cours.

1.2

Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée

Définition 4 (BOULE OUVERTE, FERMEE, SPHERE) Soit a un point de Rn et r 2 R, r > 0. 1. B(a, r) = {x 2 Rn ; d(a, x)  r} est appelé boule FERMEE de centre a et de rayon r. 2. B(a, r) = {x 2 Rn ; d(a, x) < r} est appelé boule OUVERTE de centre a et de rayon r. 3. S(a, r) = {x 2 Rn ; d(a, x) = r} est appelé SPHERE de centre a et de rayon r. Remarque 1 ATTENTION : les boules ont des formes différentes selon les espaces métriques utilisés. Exemple 2 Voir en cours. Définition 5 (PARTIE BORNEE) Une partie bornée P de Rn est une partie de Rn pour laquelle on peut trouver une boule (ouverte ou fermée) qui contient tous les points de P . 6

1.3

Ouverts et fermés

Définition 6 (PARTIE OUVERTE) Une partie ouverte (ou un ouvert) de Rn est une partie U de Rn telle que pour tout x 2 U , il existe r > 0 réel, tel que B(x, r) ⇢ U . Autrement dit, tout point de U est le centre d’une boule ouverte de rayon non-nul, incluse dans U . Définition 7 (PARTIE FERMEE) Une partie fermée (ou un fermé) de Rn est une partie telle que son complémentaire U de Rn est un ouvert. Proposition 1 (BOULES et OUVERTS) Dans un espace métrique (E, d), on a : 1. une boule ouverte est un ouvert, 2. une boule fermée est un fermé. Preuve : Faite en cours avec les normes (après la définition