Peut On Tout Démontrer

té a priori de tout défendre, de tout démontrer. Certes les démonstrations peuvent être plus ou moins efficaces, mais la forme même de la démonstration, consistant à appuyer par exemple une thèse par d’autres thèses peut s’appliquer à toutes choses : la démonstration peut ne pas persuader quelqu’un mais il demeure possible d’élaborer une démonstration pour toutes choses. Il est par exemple possible a priori de démontrer qu’une orange est en fait de couleur bleue.

L’activité ici en jeu n’est autre que la sophistique. Gorgias, dans le Gorgias de Platon prétend aisni pouvoir persuader un auditoire de n’importe quoi. Il s’enorgueillit ainsi de pouvoir démontrer qu’il est meilleur médecin qu’un vrai médecin, et assure qu’il serait choisi à l’insue des vrais médecins grâce à son art oratoire. Gorgias met ici en vant le pouvoir absolu, illimité de la rhétorique : il serait possible grâce à celle-ci de tout démontrer. Rien ne saurait pour un bon rehéteur être indémontrable : les seules limites de la démonstration seraient liées à l’incompétence du rhéteur, mais en soi tout est démontrable. Autrement dit, le domaine de la démonstration, de la persuation, de l’argumentation semble bel et bien illimité.

Cependant, le problème de ce premier temps de notre analyse est le manque de distinction entre la simple persuation, la simple argumentation et la démonstration. Un élément, notamment, a été laissé de de côté, pourtant essentiel au concept de démonstration : le rapport de celle-ci à la vérité.

La vérité comme limite

La démonstration ne consiste pas seulement à appuyer une thèse par d’autres thèses, mais à établir la vérité d’une thèse ou d’une proposition. Autrement dit, démontrer A ou démontrer que A revient à prouver que A est vrai. En ce sens, la démonstration est étroitement liée à la notion de vérité, ce qui s’oppose à la sophistique abordée aupravant pour laquelle tout est démontrable, y compris ce qui est faux ou ce qui n’est pas.

Aristote, Topiques, 100A : « Le syllogisme est un discours dans lequel, certaines choses étant posées, une autre chose différente d’elles en résulte nécessairement, par les choses mêmes qui sont posées. – C’est une démonstration quand le syllogisme part de prémisses vraies et premières, ou encore de prémisses telles que la connaissance que nous en avons prend elle-même son origine dans des prémisses premières et vraies ».

Pour Aristote, la démonstration, opération fondamentale de la science, est la déduction d’une conclusion à partir de prémisses considérées comme vraies, certaines. On conclue de manière certaine à partir de prémisses vraies. Démontrer, c’est déduire la vérité, la nécessité logique d’une conclusion à partir de prémisses considérées comme vraies. Autrement dit, le point de départ et le terme de la déduction, c’est toujours la vérité (au moins en visée, car il est toujours possible de faire une erreur dans le raisonnement, ou de partir de prémisses considérées à tort comme vraies). Par conséquent, il est possible dans les sciences de démontrer toutes les propositions puisqu’elles sont liées entre elles. Toutes les propositions, tous les énoncés scientifiques sont émontrable. C’est d’ailleurs là l’une des propriétés de l’oncé scientifique : pouvoir être démontrable objectivement.

Il faut cependant rappeler, pour reprendre une distinction kantienne, que la logique n’est pas une condition positive de la vérité d’une proposition : un raisonnement peut être logiquement valide mais matériellement faux (Toutes les plantes ont des feuilles, or Socrate est une plante, donc Socrate a des feuilles) ; mais une condition négative : il faut au moins, même si ce n’est pas une condition suffisante, respecter les lois de la logiques pour que la conclusion d’un raisonnement soit vraie.

Quoi qu’il en soit, au sens strict on ne peut démontrer qu’une proposition vraie, une conclusion nécessaire en partant de prémisses vraies, du moins que l’on considère comme telles. En ce sens, on ne peut pas tout démontrer : la démonstration a certaines limites liées à la notion de vérité.

Cependant, nous avons vu dans la définition de la démonstration proposée par Aristote que le point de départ, les prémisses de la démonstration sont non seulement vraies, mais également premières, plus ou moins directement, dans le sens où soit les prémisses de la conclusion sont des vérités premières, soit les prémisses de ces prémisses le sont : c’est-à-dire qu’à plus ou moins long terme, la conclusion est tirée de vérités premières, de prémisses considérées comme telles. Or, qu’en est-il de ces prémisses elles-mêmes ? Nous avons vu que la vérité est l’une des limites de la démonstration. Mais ces vérités premières sont-elles elles-mêmes démontrables ? Quel est le statut de ces « vérités premières » sur lesquelles est basées les démonstrations ?

Aristote (opus cité) définit ainsi les vérités premières : « Sont vraies et premières les choses qui tirent leur certitudes, non pas d’autres choses, mais d’elles-mêmes ».

On ne peut donc pas a priori démontrer les prémisses elles-mêmes de la démonstration, puisqu’on ne peut les conclures d’autres prémisses vraies et premières. Elles ont évidentes par elles-mêmes, ce sont des vérités intuitives : il y a une « auto-monstration » des vérités premières. C’est ainsi pour Aristote que les premiers principes des sciences sont en eux-mêmes certains : on n’a pas à en chercher le pourquoi. Le principe est évident et clair, son évidence se montre d’elle-même.

En ce sens, l’image des sciences est la suivante : des propositions sont conclues les unes des autres, sont démontrées les unes à partir des autre, mais ce non pas selon une régression à l’infini : on trouve nécessairement un terme utlime à toute démonstration sous la forme de principes, c’est-à-dire de vérités premières. C’est le « fondationnalisme » : des vérités premières, « intuitives » servent de fondement à toute démonstration, à toute autre vérité. Toute proposition vraie ne peut être démontrée, c’est-à-dire ne peut être établie comme vraie, logiquement certaine qu’à partir de ces vérités premières. En ce sens, la condition de possibilité de la démonstration est l’existence de propositions vraies d’où l’on peut conclure selon certaines lois de la logiques de manière certaine d’autres propositions.

Nous avons vu en ce deuxième temps que la démonstration doit être conçue comme l ’établissement de la vérité d’une proposition à partir de prémisses considérées comme vraies. En ce sens, on ne peutdémontrer que ce qui est vrai. On a vu également que le fondement de la démonstration ainsi conçue est l’existence de vérités premières. Autrement dit, le présupposé de la démonstration est l’existence de vérité. Après avoir vu dans un premier temps qu’on pouvait penser qu’il est possible de tout démonstrer, nous avons vu dans le deuxième temps que la démonstration est en un sens « limitée » par la vérité, à la fois celle qu’elle doit établir, et celle d’où elle part. Mais il s’agit désormais de questionner ces « vérités première».

Démonstration et relativisme

La condition de possibilité de la démonstration réside notamment dans l’existence de vérités premières. C’est par exemple le rôle des axiomes d’Euclide en géométrie : ce sont des vérités évidentes, intuitives, indémontrables, sur lesquelles reposent ensuite toutes les démonstrations. Cepedant, sont-ce bien des vérités absolues, éternelles, sont-ce des évidences ? Le développement de géométries non-euclidienne a permis de montrer que les axiomes sont plus à considérer comme des hypothèses de travail plutôt que comme des vérités absolues. Par exmeple, que par un point disctinct d’une droite il ne puisse passer qu’une droite parallèle à celle-ci n’est qu’une