Fonction Logarithmes

1 ) = 0 +

x →1 1

et

x →1

lim ( x + 3 ) = 4

donc

x → 1 x 1

x+3 lim  ------------ = + ∞ – 1

et

X → +∞

lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x ) = + ∞ .

x→1 1

Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D. En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives : y = 0 ; x = – 3 et x = 1.

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CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES

2 Propriétés et autres fonctions

1. Propriétés de la fonction logarithme népérien

Conditions a b 0 0 Propriétés ln ab = ln a + ln b (propriété caractéristique des fonctions logarithmes) a 1 ln -- = ln a – ln b ; ln -- = – ln b b b α = α ln a avec α ∈ ln a ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective) ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement croissante) ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1 1 ln x ln x 0 0

0 x

x 1

2. Dérivées et primitives

• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x de I, u ( x ) soit strictement positif : u′ ( ln ◦ u )′ = ---u u′ . Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦ u )′ = ---- . u

• Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivée u′ est dérivable sur I. u¢ Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ . u

3. Fonction logarithme décimal

ln x La fonction logarithme décimal est définie sur ]0 ; + ∞[ par log x = ------------ . ln 10 Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que la fonction logarithme népérien. 1 log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ---------------- . x ln 10 Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puissances de 10.

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cours

savoir-faire

exercices

corrigés

4. Autres limites

x→0 x→0

ln ( 1 + x ) lim ----------------------- = 1 ; x

x → +∞

ln x lim --------- = 0 ; x

lim x ln x = 0 (à redémontrer à chaque fois).

ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro.

5. Résolution de l’équation ln x = a

Pour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans ]0 ; + ∞ [ . Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a.

exemple d’application

Soit la fonction f : x x2 + 3 La fonction f est telle que f = ln ◦ u avec u ( x ) = -------------- . x–1 2 + 3) 2 – 2x – 3 2x ( x – 1 ) – ( x u′ x D’où f ′ = ---- avec u′ ( x ) = -------------------------------------------------- = --------------------------u ( x – 1 )2 ( x – 1 )2 donc : x 2 – 2x – 3 --------------------------( x 2 – 2x – 3 ) ( x – 1 ) ( x – 1 )2 f ′ ( x ) = --------------------------- = -------------------------------------------------- . 2+3 ( x – 1 )2 ( x2 + 3 ) x -------------x–1 Or sur ]1 ; + ∞[ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même signe que le trinôme x 2 – 2x – 3 dont les racines sont –1 et 3. Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]3 ; + ∞[ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]1 ; 3 ] . Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction f est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est strictement décroissante sur ] – 1 ; 3 ] . Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df . Dans ce cas, D f ′ = D f = ]1 ; + ∞ [ .

corrigé commenté

x2 + 3 ln -------------- définie sur ]1 ; + ∞ [ . x–1 Déterminer les variations de f.

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