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d en compte : - le capital - la durée du prêt - un taux d’intérêt. L'intérêt simple i d'un capital C placé au taux nominal annuel t pour 100 euros pendant une période n résulte de la formule suivante : i = C*t*n La période n peut être exprimée en années : n = Nbre d'années/100, ou en mois: n = Nbre mois/(12 x 100), ou en jours : n = Nbre jours/(365 x 100) Dans le cadre des crédits, la formule des intérêts simples est utilisée dans la construction des tableaux d'amortissement la période n étant exprimée en nombre de mois. Dans le cadre d'un emprunt faisant l'objet d'un amortissement mensuel, la formule utilisée pour calculer la part en intérêts du montant versé chaque mois par l'emprunteur sera : i = C x t / 12*100 Dans cette formule : - C représente le capital restant dû en fin de période, - t est le taux nominal annuel conventionnel.

Notons que dans ce cas, le montant du remboursement constant versé s'appelle une annuité, et ce quelle que soit la périodicité de remboursement (qui n’est pas forcément annuelle). Le montant de l'annuité comprend : les intérêts échus + une partie du capital emprunté.

L'intérêt simple perçu à intervalles régulier est dit périodique.

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3- L’ INTERET COMPOSE L’intérêt se capitalise : à la fin d'une période ayant produit des intérêts simples, le montant des intérêts produits est ajouté au capital ; l’ensemble portera intérêt à son tour lors de la période suivante et ainsi de suite. Les périodes de capitalisation les plus fréquentes sont les mois, trimestre, semestre et année. Seul un calcul d'intérêts composés permet de déterminer un taux actuariel. En matière d'intérêts composés, le taux utilisé pour les calculs est le taux nominal périodique correspondant à la durée de la période de capitalisation des intérêts. Dans les démonstrations qui suivent, nous désignerons par : • • • • • • • n : le nombre de périodes de capitalisation d'intérêts, t : le taux nominal périodique, Co : le capital initial, C1 : le capital augmenté des intérêts de la première période, C2 : le capital C1 augmenté des intérêts de la seconde période, Jusqu’à…. Cn : le capital Cn-1 augmenté des intérêts de la énième période,

Le capital majoré des intérêts en fin de première période peut donc s'écrire : C1 = C o + C o * t = C o ( 1 + t ) Le capital acquis en fin de 2ème période sera : C2 = C 1 ( 1 + t ) = C o ( 1 + t ) ( 1 + t ) = C o ( 1 + t ) 2 En fin de 3ème période nous aurons : C3 = C 2 ( 1 + t ) = C o ( 1 + t ) ( 1 + t ) ( 1 + t ) = C o ( 1 + t ) 3 Une démonstration par récurrence conclut à la formule générale suivante :

Cn = Co ( 1 + t ) n

NB : Ce qui permet à l’inverse d’Actualiser une somme future pour en déterminer sa valeur à ce jour en inversant la formule comme suit : CO = Cn (1+t)n

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Exemple 1 : pour un investissement initial de 100 au taux de 10% l’an pendant 5 ans, le capital acquis à chaque période annuelle sera selon les 2 méthodes de calcul suivants qui conduisent au même résultat :

100

formule indiciaire

110 100*(1,1) 110 100*(1+10%)^1

121 110*(1,1) 121 100*(1+10%)^2

133,1 121*(1,1) 133,1 100*(1+10%)^3

146,41 133,1*(1,1) 146,41 100*(1+10%)^4

161,05 146,41*(1,1) 161,05 100*(1+10%)^5

100

formule mathématique

(l’avantage de la deuxième méthode est plus simple pour déterminer n’importe quelle valeur selon le temps) Cette notion de taux actuariel conduit à rechercher un taux équivalent : Exemple 2 : - un capital de 100 € - porte intérêt au taux nominal annuel de 12% - payable chaque fin de mois pendant 12 mois fera l'objet du calcul suivant : 1. Calcul du taux périodique mensuel : (12 / 12) / 100 = 1% soit : t = 0,01 2. Calcul de la valeur de 1 + t = 1 + 0,01 = 1,01 3. Calcul de C12 = capital acquis après 12 mois : C12 = 100 (1,01)12 = 112,68.

Tx

100

1%

101,00

1%

102,01

1%

103,03

1%

104,06

1%

105,10

1%

106,15

1%

107,21

1%

108,29

1%

109,37

1%

110,46

1%

111,57

1%

112,68

La capitalisation mensuelle des intérêts au taux nominal annuel de 12% a donc permis d'obtenir un rendement de 12,68% sur une année. Ce taux de 12,68% est appelé le taux actuariel ou taux équivalent, car il est équivalent de placer un capital au taux périodique mensuel de 1% que de le placer sur une année au taux nominal de 12,68%. Pour obtenir un taux actuariel de 12% par an, il conviendrait de prendre un taux mensuel équivalent de 0,948% selon la formule mathématique suivante :

ie k

1 k = (1 + i)

−1

Soit 11,3866% annuel et 0,9489% par mois Notons enfin que la formule : Cn = Co (1 + t)n permet de calculer :

• • •

Cn en fonction de Co et de t, Co en fonction de Cn et de t, ce qui conduit à l’actualisation mais ne permet pas de calculer t (le taux) en fonction de C o et de Cn.

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Le seul moyen d'effectuer ce type de calcul est de recourir aux "bonnes vieilles" tables financières ou de recourir aux fonctions spécialisées des tableurs qui effectuent une série de calculs récursifs selon la "Méthode de Newton". Il s'agit en fait d'appliquer à la formule C n = Co ( 1 + t )n un taux t estimé puis de le diminuer ou de l'augmenter afin de "cerner" progressivement la valeur de Cn (ce que les outils informatiques et les calculettes financières font automatiquement).

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4- METHODE D’ACTUALISATION : Définition : Actualiser une somme correspond à déterminer la valeur présente d’une somme de flux Futurs, telle que la somme des flux futurs (CF) soit équivalente à la Somme actuelle en fonction du taux d’intérêt choisi. Pour ce faire on doit connaître le prix du risque ou le taux d’actualisation t, correspondant au taux exigé. Cette démarche conduit à faire une opération inverse à celle des intérêts composés qui permet de passer d’une somme présente à une somme future et partant d’une somme future à la valeur présente : So = x S1 = So + So*t = So (t +1) S2 = S1 + S1*t = S1 (t + 1) = So (t + 1)(t + 1) = So (t + 1)² S3 = S2 + S2*t = S2 (1 + t) = So (1 + t)²(1 + t) = So (1 + t) 3 etc. „ „ „ „

Sn = So (1 + t) n => So = Sn (1 + t) n

N.B : t varie selon le risque : il est le plus souvent donné par le marché (ex : l’OAT de référence ou le taux de rendement offert pour un immeuble ou le taux de rendement exigé de l’investisseur). L’Actualisation de chaque flux revient à trouver la valeur équivalente de la période n au temps présent :

CFn (avec revente du K) ! ! ! ! ! temps

CF2

+ 0 -

CF1 ! !

! !

CF3 ! ! ! !

- I = montant de l’Investissement

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Exemple n° 3 : Une obligation de 100€ est achetée au taux de 10% l’an avec intérêt effectivement versé à la fin de chacune des années. L’obligation est remboursée au bout de 5 ans avec le dernier paiement de l’intérêt calculez la Valeur actualisée de chaque flux encaissé et le taux actuariel :

Capital CF VA = VA = Année C0 -100 -100 -100 N1 CF1 10 9,09 9,09 N2 CF2 10 8,26 8,26 N3 CF3 10 7,51 7,51 = N4 CF4 10 6,83 6,83 0,00 N5 CF5 110 68,30 68,30 100,00 Tri 10% -

VAN